名古屋大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

直線(i)，(ii)を$$P(s)=(1,2,3)+s(1,1,-1),Q(t)=(-1,-2,-3)+t(3,-3,1)$$とおく。$P(s)-Q(t)$が両直線の方向に垂直となる条件は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \{P(s)-Q(t)\}\cdot (1,1,-1)}& {\displaystyle =0,}\\ {\displaystyle \{P(s)-Q(t)\}\cdot (3,-3,1)}& {\displaystyle =0.}\end{array}$$整理すると$$3s+t=0,s+19t=0$$だから$s=t=0$である。したがって共通垂線は$$L:(x,y,z)=\lambda (1,2,3)$$である。

(iii)を$$R(u)=(2,4,b)+u(a,1,1)$$と表す。まず方向の直交条件から$$(a,1,1)\cdot (1,2,3)=a+5=0$$なので$a=-5$である。

次に$R(u)$と$L$の交点条件を調べる。$$\lambda (1,2,3)=(2,4,b)+u(-5,1,1)\mathrm{.}$$第1・第2成分より$$\lambda =2-5u,2\lambda =4+u\mathrm{.}$$これを解くと$u=0,\lambda =2$である。第3成分から$$b=3\lambda =6.$$よって$$a=-5,b=6$$である。

外積で共通垂線の方向を求め、既知の2点がその直線上にあることから共通垂線を直接特定する。第3直線との直交・交差を連立して$a,b$を同時に決める。

(i)，(ii)の方向ベクトルを$$\mathit{u}=(1,1,-1),\mathit{v}=(3,-3,1)$$とする。その外積は$$\mathit{u}\times \mathit{v}=-2(1,2,3)\mathrm{.}$$また(i)上の$(1,2,3)$と(ii)上の$(-1,-2,-3)$は、原点を通り方向$$\mathit{w}=(1,2,3)$$の直線上にある。ゆえに共通垂線は$$L:\mathit{x}=\lambda \mathit{w}$$である。

(iii)の方向$(a,1,1)$が$\mathit{w}$と直交する条件から$$a+2+3=0,$$よって$a=-5$である。さらに交点をもつには、ある$\lambda ,u$について$$\lambda (1,2,3)-(2,4,b)=u(-5,1,1)$$でなければならない。第1・第2成分を消去すると$$2(\lambda -2)=2\lambda -4=-10u,2\lambda -4=u\mathrm{.}$$したがって$11u=0$、すなわち$u=0,\lambda =2$である。残る第3成分から$b=6$を得る。

したがって結論は$$a=-5,b=6$$である。