名古屋大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

正三角形の一辺の長さを$L$とし、頂点$A,B,C$の位置ベクトルをそれぞれ$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$とする。いずれかの点が次の頂点に到達するまでの間は、3点はそれぞれ同じ辺上を等速で動くので$$\overrightarrow{OP(t)}=\vec{a}+{\displaystyle \frac{ut}{L}}(\vec{b}-\vec{a}),\overrightarrow{OQ(t)}=\vec{b}+{\displaystyle \frac{vt}{L}}(\vec{c}-\vec{b}),\overrightarrow{OR(t)}=\vec{c}+{\displaystyle \frac{wt}{L}}(\vec{a}-\vec{c})$$である。

重心の位置ベクトルを$\vec{g}(t)$とすると$$\vec{g}(t)={\displaystyle \frac{1}{3}}\{\overrightarrow{OP(t)}+\overrightarrow{OQ(t)}+\overrightarrow{OR(t)}\}$$である。したがって、重心が$t$によらず動かないための条件は、$t$の係数が0であること、すなわち $$u(\vec{b}-\vec{a})+v(\vec{c}-\vec{b})+w(\vec{a}-\vec{c})=\vec{0}$$ である。

ここで $$\vec{a}-\vec{c}=-(\vec{b}-\vec{a})-(\vec{c}-\vec{b})$$ である。これを代入すると $$(u-w)(\vec{b}-\vec{a})+(v-w)(\vec{c}-\vec{b})=\vec{0}$$ となる。$\vec{b}-\vec{a}$と$\vec{c}-\vec{b}$は平行でないので一次独立である。したがって $u-w=0,v-w=0$ である。よって $u=v=w$ を得る。

逆に$u=v=w$なら、上の速度ベクトルの和は $$u\{(\vec{b}-\vec{a})+(\vec{c}-\vec{b})+(\vec{a}-\vec{c})\}=\vec{0}$$ となるので、重心は動かない。したがって求める条件は $u=v=w$ である。

座標を $A=(0,0)$, $B=(1,0)$, $C=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$ と置き、3点の速度ベクトルを成分で書く。重心が静止する条件は、その和の $x$ 成分と $y$ 成分がともに $0$ になることである。2本の一次方程式を解き、逆も同じ式で確認する。

一辺を $1$ として$$A=(0,0),B=(1,0),C=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$$と置く。点 $P,Q,R$ の進行方向はそれぞれ $A\to B$, $B\to C$, $C\to A$ だから、速度ベクトルは$${\mathit{v}}_P=(u,0),{\mathit{v}}_Q=v(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}),{\mathit{v}}_R=w(-{\displaystyle \frac{1}{2}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$$である。

重心の速度はこれらの和の ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。したがって重心が動かないための必要十分条件は$${\mathit{v}}_P+{\mathit{v}}_Q+{\mathit{v}}_R=\mathbf{0}\mathrm{.}$$成分を比較すると$$u-{\displaystyle \frac{v+w}{2}}=0,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}(v-w)=0.$$第2式から $v=w$、これを第1式に入れて $u=v$ を得る。よって$$u=v=w\mathrm{.}$$逆にこの等式が成り立てば、上の2成分はいずれも $0$ になるから、重心は実際に静止する。