名古屋大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

$\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}$
点$P$は線分$AB$を$s:(1-s)$に内分する。したがって $P=(1-s)A+sB$ であるから $P=(1-s,2s,0)$ である。

次に、点$Q$は線分$PC$を$t:(1-t)$に内分するので $Q=(1-t)P+tC$ である。よって $$Q=((1-t)(1-s),2s(1-t),3t)$$ である。したがって位置ベクトルは $$\overrightarrow{OQ}=((1-t)(1-s),2s(1-t),3t)$$ である。

$\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}$
距離の2乗を最小にすればよい。(1)より $$O{Q}^2=(1-t{)}^2\{(1-s{)}^2+4s^2\}+9t^2$$ である。ここで $A_s=(1-s{)}^2+4s^2$ とおくと $O{Q}^2=A_s(1-t{)}^2+9t^2$ である。

固定した$s$に対して、これを$t$の2次式として最小化する。微分してもよいし、平方完成してもよい。導関数は $-2A_s(1-t)+18t$ であるから、最小となる$t$は $A_s(1-t)=9t$ すなわち $$t={\displaystyle \frac{A_s}{A_s+9}}$$ である。このときの最小値は ${\displaystyle \frac{9A_s}{A_s+9}}$ である。

関数${\displaystyle \frac{9A_s}{A_s+9}}$は$A_s>0$で$A_s$が小さいほど小さい。したがって$A_s$を最小にすればよい。ところが $$A_s=(1-s{)}^2+4s^2=5s^2-2s+1$$ であり、平方完成すると $$A_s=5{(s-{\displaystyle \frac{1}{5}})}^2+{\displaystyle \frac{4}{5}}$$ である。よって$0<s<1$で最小となるのは $$s={\displaystyle \frac{1}{5}}$$ のときである。このとき$$A_s={\displaystyle \frac{4}{5}}$$なので $$t={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{4}{5}}}{{\displaystyle \frac{4}{5}}+9}}={\displaystyle \frac{4}{49}}$$ である。

したがって求める値は $$s={\displaystyle \frac{1}{5}},t={\displaystyle \frac{4}{49}}$$ である。

点 $Q$ が三角形 $ABC$ の内部全体を動くことに着目する。原点からこの三角形までの最短点は、平面 $ABC$ への垂線の足である。平面の切片形から法線方向を求め、垂線の足を出した後、$Q$ の内分表示と比較して $s,t$ を復元する。

点 $P$ が辺 $AB$ の内部を動き、さらに $Q$ が線分 $PC$ の内部を動くとき、$Q$ は三角形 $ABC$ の内部全体を動く。したがって、原点から三角形 $ABC$ までの距離を最小にすればよい。

3点$$A=(1,0,0),B=(0,2,0),C=(0,0,3)$$を通る平面は、切片形から$$x+{\displaystyle \frac{y}{2}}+{\displaystyle \frac{z}{3}}=1.$$この平面の法線方向は$$\mathit{n}=(1,{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{3}})$$である。原点から下ろした垂線の足を $H=\lambda \mathit{n}$ と置く。平面の式へ代入すると$$\lambda (1+{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{9}})=1,$$よって$$\lambda ={\displaystyle \frac{36}{49}},H=({\displaystyle \frac{36}{49}},{\displaystyle \frac{18}{49}},{\displaystyle \frac{12}{49}})\mathrm{.}$$各座標は正で、この点は三角形 $ABC$ の内部にあるから、これが最短点である。

一方、内分公式から$$Q=((1-t)(1-s),2s(1-t),3t)\mathrm{.}$$$Q=H$ と比較すると$$3t={\displaystyle \frac{12}{49}}$$より$$t={\displaystyle \frac{4}{49}}\mathrm{.}$$さらに$$2s(1-{\displaystyle \frac{4}{49}})={\displaystyle \frac{18}{49}}$$より$$s={\displaystyle \frac{1}{5}}\mathrm{.}$$したがって$$(s,t)=({\displaystyle \frac{1}{5}},{\displaystyle \frac{4}{49}})\mathrm{.}$$