名古屋大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

三角形$ABC$上の点は，$B$方向と$C$方向の係数を用いて $s(1-a,0,0)+t(0,1,a)$ と書ける。ただし$s\geqq 0$，$t\geqq 0$，$s+t\leqq 1$である。この点の$z$座標は$at$なので，$z$を固定すると $$t={\displaystyle \frac{z}{a}}$$ である。したがって$0\leqq z\leqq a$で切った線分は $$y={\displaystyle \frac{z}{a}},0\leqq x\leqq (1-a)(1-{\displaystyle \frac{z}{a}})$$ で表される。

この線分を$z$軸のまわりに回転する。$y=z\mathrm{/}a$は一定で，線分の左端の半径は$z\mathrm{/}a$，右端の半径は$$\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{z}{a}}\right)}^2+{\{(1-a)(1-{\displaystyle \frac{z}{a}})\}}^2}$$である。よって断面は円環であり，その面積は$$\pi [{\left({\displaystyle \frac{z}{a}}\right)}^2+{\{(1-a)(1-{\displaystyle \frac{z}{a}})\}}^2-{\left({\displaystyle \frac{z}{a}}\right)}^2]=\pi (1-a{)}^2{(1-{\displaystyle \frac{z}{a}})}^2$$である。

したがって体積は$$V={\int }_0^a\pi (1-a{)}^2{(1-{\displaystyle \frac{z}{a}})}^{2}dz$$である。$u=1-z\mathrm{/}a$とおくと，$$V=\pi (1-a{)}^2\cdot a{\int }_0^1{u}^{2}du={\displaystyle \frac{\pi }{3}}a(1-a{)}^2$$である。

あとは$0<a<1$で$a(1-a{)}^2$を最大にすればよい。 $${\displaystyle \frac{d}{da}}\{a(1-a{)}^2\}=(1-a{)}^2-2a(1-a)=(1-a)(1-3a)$$ である。したがって$0<a<1$で増減は$a=1\mathrm{/}3$を境に増加から減少へ変わる。よって最大となるのは $a={\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。

そのときの体積は$$V={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2={\displaystyle \frac{4\pi }{81}}$$である。

高さごとの円環断面で体積を求めた後、最大化には微分を使わず相加相乗平均を用いる。等号条件から $a$ を直接決定する。

高さ $z$ で三角形を切ると$$y={\displaystyle \frac{z}{a}},0\leqq x\leqq (1-a)(1-{\displaystyle \frac{z}{a}})$$である。この線分を $z$ 軸のまわりに回すと、内半径 $z\mathrm{/}a$、外半径$$\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{z}{a}}\right)}^2+(1-a{)}^2{(1-{\displaystyle \frac{z}{a}})}^2}$$の円環になる。よって断面積は$$\pi (1-a{)}^2{(1-{\displaystyle \frac{z}{a}})}^2$$であり$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle ={\int }_0^a\pi (1-a{)}^2{(1-{\displaystyle \frac{z}{a}})}^{2}dz}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}a(1-a{)}^2\mathrm{.}}\end{array}$$ここで正の3数$$a,{\displaystyle \frac{1-a}{2}},{\displaystyle \frac{1-a}{2}}$$の和は1である。相加相乗平均より$${\displaystyle \frac{1}{3}}\geqq \sqrt[3]{a{\left({\displaystyle \frac{1-a}{2}}\right)}^2},$$したがって$$a(1-a{)}^2\leqq {\displaystyle \frac{4}{27}}\mathrm{.}$$等号は$$a={\displaystyle \frac{1-a}{2}}$$すなわち $a=1\mathrm{/}3$ のときに限る。ゆえに$$a={\displaystyle \frac{1}{3}},V_{\max }={\displaystyle \frac{4\pi }{81}}\mathrm{.}$$