名古屋大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

$A$を原点とし，$$\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AC}=\vec{c}$$ とおく。また $$\lambda ={\displaystyle \frac{m}{m+n}}$$ とおくと，$0<\lambda <1$である。 $D$は$AB$を$m:n$に分けるので $$\overrightarrow{AD}=\lambda \vec{b}$$ である。$E$は$BC$を$m:n$に分けるから $$\overrightarrow{AE}=(1-\lambda )\vec{b}+\lambda \vec{c}$$ であり，$F$は$CA$を$m:n$に分けるから $$\overrightarrow{AF}=(1-\lambda )\vec{c}$$ である。したがって $$\overrightarrow{DF}=(1-\lambda )\vec{c}-\lambda \vec{b}$$ である。

条件$AE\perp DF$は$$\{(1-\lambda )\vec{b}+\lambda \vec{c}\}\cdot \{(1-\lambda )\vec{c}-\lambda \vec{b}\}=0$$である。左辺を展開すると$$(1-2\lambda )\vec{b}\cdot \vec{c}+\lambda (1-\lambda )(\mathrm{\mid }\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2)=0$$となる。

まず$m=n$，すなわち$\lambda =1\mathrm{/}2$を代入すると $${\displaystyle \frac{1}{4}}(\mathrm{\mid }\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2)=0$$ であるから $\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid }$ を得る。これを上の式に戻すと $$(1-2\lambda )\vec{b}\cdot \vec{c}=0$$ である。たとえば$m:n=1:2$なら$\lambda =1\mathrm{/}3$で，$1-2\lambda \mathrm{\ne }0$だから $\vec{b}\cdot \vec{c}=0$ である。

よって必要条件として $$\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid },\vec{b}\cdot \vec{c}=0$$ が得られた。これは $$AB=AC,\mathrm{\angle }BAC={90}^{\circ }$$ を意味する。

逆に，$AB=AC$かつ$\mathrm{\angle }BAC={90}^{\circ }$なら $$\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid },\vec{b}\cdot \vec{c}=0$$ である。このとき上で求めた内積の式は任意の$\lambda$で$0$になるので，どんな自然数$m,n$でも$AE\perp DF$が成り立つ。

したがって求める三角形は $$AB=AC\text{ かつ }\mathrm{\angle }BAC={90}^{\circ }$$ を満たす直角二等辺三角形である。

直交条件を分点比の2次式として表し、自然数比から得られる無数の値で0になることから恒等式と判定する。係数比較で三角形を決める。

$A$ を原点とし、$$\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AC}=\vec{c},\lambda ={\displaystyle \frac{m}{m+n}}$$とおく。分点の向きに注意すると$$\overrightarrow{AE}=(1-\lambda )\vec{b}+\lambda \vec{c},\overrightarrow{DF}=(1-\lambda )\vec{c}-\lambda \vec{b}\mathrm{.}$$したがって直交条件は$$H(\lambda )=(1-2\lambda )\vec{b}\cdot \vec{c}+\lambda (1-\lambda )(\mathrm{\mid }\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2)=0$$である。自然数 $m,n$ を動かすと $\lambda =m\mathrm{/}(m+n)$ は無数の相異なる値を
取る。一方 $H(\lambda )$ は高々2次式だから、これらすべてで0なら恒等的に0である。
${\lambda }^2$ の係数と定数項を比較して$$\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2,\vec{b}\cdot \vec{c}=0$$を得る。すなわち$$AB=AC,\mathrm{\angle }BAC={90}^{\circ }\mathrm{.}$$逆にこの2条件があれば $H(\lambda )\equiv 0$ なので、任意の自然数比で
$AE\perp DF$ となる。よって求めるのは、頂点 $A$ を直角とする
直角二等辺三角形である。