名古屋大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験 確率・数列理系数学 第4問(a)

(1)

1回目に赤球が出る確率は ${\displaystyle \frac{5}{15}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。

1回目に赤球が出た場合，取り出した赤球を含めて$p$個の赤球を入れるので，箱の中は赤球$p+4$個，白球$10$個になる。したがってこの場合の2回目の赤確率は ${\displaystyle \frac{p+4}{p+14}}$ である。

1回目に白球が出た場合，箱の中は赤球$5$個，白球$q+9$個になる。したがってこの場合の2回目の赤確率は ${\displaystyle \frac{5}{q+14}}$ である。

よって2回目に赤球が出る確率は ${\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{p+4}{p+14}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{q+14}}$ である。これが1回目の赤確率$1\mathrm{/}3$に等しい条件は $${\displaystyle \frac{p+4}{p+14}}+{\displaystyle \frac{10}{q+14}}=1$$ である。両辺に$(p+14)(q+14)$を掛けると $$(p+4)(q+14)+10(p+14)=(p+14)(q+14)$$ であり，整理して $10p=10q$ となる。したがって条件は $p=q$ である。

(2) $p=q=1$のとき，赤が出ても白が出ても，取り出した球をそのまま戻すことになる。したがって各回の赤確率は常に$1\mathrm{/}3$，赤が出ない確率は$2\mathrm{/}3$である。 $A$が勝つのは，初めて赤が出る回が$1,3,5,\dots$回目のときである。よって求める確率は$${\displaystyle \frac{1}{3}}+{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^4{\displaystyle \frac{1}{3}}+\cdots$$である。これは初項$1\mathrm{/}3$，公比$4\mathrm{/}9$の等比級数なので $${\displaystyle \frac{1\mathrm{/}3}{1-4\mathrm{/}9}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$$ である。

(1) は2回目の赤確率を全確率で求める。(2)は現在手番の人が勝つ確率を未知数とし、1回の抽出後に立場が入れ替わる自己再帰式を解く。

(1)
1回目の赤確率は $1\mathrm{/}3$ である。1回目が赤なら次の赤確率は
$(p+4)\mathrm{/}(p+14)$、白なら $5\mathrm{/}(q+14)$ だから$$\mathrm{Pr}(\text{2回目が赤})={\displaystyle \frac{1}{3}}{\displaystyle \frac{p+4}{p+14}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}{\displaystyle \frac{5}{q+14}}\mathrm{.}$$これが $1\mathrm{/}3$ に等しい条件を整理すると$$(p+4)(q+14)+10(p+14)=(p+14)(q+14),$$すなわち$$p=q\mathrm{.}$$逆に $p=q$ なら上式へ代入して等しくなるので必要十分である。

(2)
$p=q=1$ では毎回赤の確率が $1\mathrm{/}3$、白の確率が $2\mathrm{/}3$ のままである。
「これから球を引く人」が最終的に勝つ確率を $\alpha$ とする。その人は
確率 $1\mathrm{/}3$ で直ちに勝つ。白を引く確率は $2\mathrm{/}3$ で、その場合は相手の手番に
なり、相手が勝つ確率が $\alpha$ だから自分が勝つ確率は $1-\alpha$ である。
したがって$$\alpha ={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}(1-\alpha )\mathrm{.}$$これを解いて$$\alpha ={\displaystyle \frac{3}{5}}\mathrm{.}$$最初の手番は $A$ なので、$A$ が勝つ確率は $3\mathrm{/}5$ である。