名古屋大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験 図形と方程式・論証・証明理系数学 第4問(b)

長方形を座標平面上の $$0\leqq x\leqq a,0\leqq y\leqq b$$ に置く。

三角形の2頂点を固定する。残りの1頂点を$P$とすると，三角形の面積は ${\displaystyle \frac{1}{2}}\times \text{固定した2頂点間の距離}\times \text{点 }P\text{ からその直線までの距離}$ である。したがって，固定した2頂点に対して面積を最大にするには，$P$を長方形の中でその直線から最も遠いところへ動かせばよい。

直線からの距離は，長方形内で連続的に変化し，最大は境界で達成される。境界の各辺上では，直線からの距離は端点で最大になる。したがって，残り1頂点は長方形の頂点に動かしても面積は小さくならない。

この操作を3つの頂点について順に行えば，面積が最大となる三角形は，長方形の4頂点のうち3点を選んだ三角形としてよい。

長方形の4頂点から3点を選んでできる三角形は，長方形を対角線で半分にした三角形と合同または同面積である。したがってその面積は ${\displaystyle \frac{ab}{2}}$ である。

もとの長方形の面積は$ab$なので，任意の三角形の面積は ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ 倍を超えない。

長方形を座標化し、三角形の符号付き面積が各頂点について一次式であることを使う。各頂点を長方形の頂点へ移しても最大値を下げない。

長方形を$$0\leqq x\leqq a,0\leqq y\leqq b$$とし、三角形の頂点を $$P_i=(x_i,y_i)(i=1,2,3)$$ とする。符号付き面積の
2倍は$$\mathrm{\Delta }=x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\mathrm{.}$$他の2頂点を固定すると、$\mathrm{\Delta }$ は残る1頂点 $(x_i,y_i)$ の一次式である。
一次式の最大値と最小値は長方形の頂点で取るので、$\mathrm{\mid }\mathrm{\Delta }\mathrm{\mid }$ も長方形の
いずれかの頂点で最大になる。これを3頂点へ順に適用すれば、最大面積を与える
候補は長方形の4頂点から3点を選んだ三角形だけでよい。

そのどれも長方形を対角線で二分した三角形で、面積は$${\displaystyle \frac{ab}{2}}\mathrm{.}$$したがって、長方形内の任意の三角形の面積は長方形の面積 $ab$ の
$1\mathrm{/}2$ を越えない。長方形の3頂点を選べば等号が成立する。