名古屋大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験 数列文系数学 第3問(a)

部分和を $S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$ とおく。条件は $$S_n={(a_n+{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2$$ である。

まず $n=1$ とすると $$a_1={(a_1+{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2$$ である。整理すると $$a_1^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_1+{\displaystyle \frac{1}{16}}=0$$ すなわち $${(a_1-{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2=0$$ なので $a_1={\displaystyle \frac{1}{4}}$ である。

次に $n\geqq 2$ とする。$S_n-S_{n-1}=a_n$ より $${(a_n+{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2-{(a_{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2=a_n$$ である。左辺を整理して $$a_n^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_n-a_{n-1}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_{n-1}=0$$ となる。両辺に $1\mathrm{/}16$ を加えると $${(a_n-{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2={(a_{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2$$ である。

したがって $$a_n-{\displaystyle \frac{1}{4}}=a_{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{4}}$$ または $$a_n-{\displaystyle \frac{1}{4}}=-(a_{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{4}})$$ である。後者は $a_n=-a_{n-1}$ を意味するが，すべての $a_n$ は正であり，$a_{n-1}>0$ なのでこれは許されない。よって常に $a_n=a_{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。

初項 $a_1=1\mathrm{/}4$，公差 $1\mathrm{/}2$ の等差数列だから $$a_n={\displaystyle \frac{1}{4}}+(n-1){\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{2n-1}{4}}$$ である。

小数係数を消すため $b_n=4a_n$ とおく。部分和条件から得られる2つの遷移を整数列 $b_n$ の形で整理し、正項条件がどちらを選ばせるかを帰納的に確認する。

部分和を $S_n$ とする。まず $n=1$ では$$a_1={(a_1+{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2$$より$${(a_1-{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2=0,a_1={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$$n\geqq 2$ では $S_n-S_{n-1}=a_n$ を用いると$${(a_n-{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2={(a_{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2\mathrm{.}$$$b_n=4a_n$ とおけば$$(b_n-1{)}^2=(b_{n-1}+1{)}^2$$だから$$b_n=b_{n-1}+2\text{または}{b}_n=-b_{n-1}\mathrm{.}$$初項は $b_1=1$ である。すべての $a_n$、したがってすべての $b_n$ が正なので、
第2の遷移 $b_n=-b_{n-1}$ は一度も選べない。よって帰納的に$$b_n=1+2(n-1)=2n-1.$$以上から$$a_n={\displaystyle \frac{b_n}{4}}={\displaystyle \frac{2n-1}{4}}\mathrm{.}$$