名古屋大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

$R=(X,Y)$ とおく。$R$ は曲線 $XY=1$，$X>0$ 上にあるから $X>0,Y={\displaystyle \frac{1}{X}}>0$ である。 $\mathrm{△}OPR$ は $\mathrm{\angle }P$ を直角とする直角二等辺三角形である。したがって $OR$ が斜辺であり，$P$ は $OR$ の中点 $({\displaystyle \frac{X}{2}},{\displaystyle \frac{Y}{2}})$ から，$OR$ に垂直な方向へ長さ $\mathrm{\mid }OR\mathrm{\mid }\mathrm{/}2$ だけ移った2点である。よって $$P=({\displaystyle \frac{X-Y}{2}},{\displaystyle \frac{X+Y}{2}})$$ または $$P=({\displaystyle \frac{X+Y}{2}},{\displaystyle \frac{Y-X}{2}})$$ である。

第一の場合，$P=(x,y)$ とおくと $X=x+y,Y=y-x$ である。したがって $XY=(x+y)(y-x)=y^2-x^2=1$ となる。また $X>0$，$Y>0$ より $y>\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ である。よって第一の場合の軌跡は双曲線 $y^2-x^2=1$ の上側の枝である。

第二の場合は $X=x-y,Y=x+y$ となるので $XY=(x-y)(x+y)=x^2-y^2=1$ であり，$X>0$，$Y>0$ より $x>\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }$ である。よって第二の場合の軌跡は双曲線 $x^2-y^2=1$ の右側の枝である。

以上より，求める軌跡は $y^2-x^2=1,y>\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ で表される枝と，$x^2-y^2=1,x>\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }$ で表される枝を合わせたものである。

直角頂点 $P$ を中心とする ${90}^{\circ }$ 回転で、原点 $O$ を頂点 $R$ に移す。回転方向が左右の2通りあるので、それぞれ $R$ の座標を $P=(x,y)$ で表し、条件 $XY=1,X>0$ を代入する。最後に不等式から双曲線の枝を指定する。

点 $P=(x,y)$ を固定して考える。$\mathrm{\angle }OPR={90}^{\circ }$ かつ$$PO=PR$$だから、ベクトル $$\overrightarrow{PO}=(-x,-y)$$ を ${90}^{\circ }$ 回転したものが
$\overrightarrow{PR}$ である。

反時計回りに回す場合は$$\overrightarrow{PR}=(y,-x),R=(x+y,y-x)\mathrm{.}$$したがって $R=(X,Y)$ の条件から$$(x+y)(y-x)=1,$$すなわち$$y^2-x^2=1.$$さらに $X=x+y>0,Y=y-x>0$ なので $y>\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ である。

時計回りに回す場合は$$\overrightarrow{PR}=(-y,x),R=(x-y,x+y)\mathrm{.}$$よって$$(x-y)(x+y)=1,$$すなわち$$x^2-y^2=1.$$また $x-y>0,x+y>0$ だから $x>\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }$ である。

逆に、これらの枝上の任意の点 $P$ から上の式で $R$ を作れば、
$R$ は $XY=1,X>0$ を満たし、直角二等辺三角形が得られる。したがって軌跡は$$\{\begin{array}{l}{y}^2-x^2=1,y>\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid },\\ x^2-y^2=1,x>\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\end{array}$$の2枝である。