名古屋大学 1996年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) $$c=\cos \alpha ,s=\sin \alpha$$ とおく。不動点 $U(a,b)$ は$$\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}c& -s\\ s& c\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$$を満たす。両辺を2倍して整理すると$$\left(\begin{array}{cc}2-c& s\\ -s& 2-c\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right)$$である。係数行列の行列式は $(2-c{)}^2+s^2=5-4c>0$ なので，$$a={\displaystyle \frac{2(2-c)}{5-4c}},b={\displaystyle \frac{2s}{5-4c}}$$ である。すなわち$$U=({\displaystyle \frac{2(2-\cos \alpha )}{5-4\cos \alpha }},{\displaystyle \frac{2\sin \alpha }{5-4\cos \alpha }})$$である。

(2)

不動点の式 $U=f(U)$ と $P_{n+1}=f(P_n)$ を引き算すると $$\overrightarrow{U{P}_{n+1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}A\overrightarrow{U{P}_n}$$ である。行列 $A$ は角 $\alpha$ の回転を表すので，長さを変えず，向きを $\alpha$ だけ回転させる。したがって $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{U{P}_{n+1}}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\mid }\overrightarrow{U{P}_n}\mathrm{\mid }$$ であり，また $$\mathrm{\angle }{P}_{n}U{P}_{n+1}=\alpha$$ である。

(3) $U=(x,y)$ とする。不動点方程式は $U-(1,0)={\displaystyle \frac{1}{2}}AU$ と書ける。回転行列 $A$ は長さを変えないので $\mathrm{\mid }U-(1,0)\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\mid }U\mathrm{\mid }$ である。したがって $$(x-1{)}^2+y^2={\displaystyle \frac{1}{4}}(x^2+y^2)$$ となる。整理すると $3x^2-8x+3y^2+4=0$ であり，平方完成して $${(x-{\displaystyle \frac{4}{3}})}^2+y^2={\displaystyle \frac{4}{9}}$$ を得る。よって不動点 $U$ は，中心 $({\displaystyle \frac{4}{3}},0)$ 半径 ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ の円周上を動く。

(4)

(2) より $$\mathrm{\mid }U{P}_n\mathrm{\mid }={\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n\mathrm{\mid }U{P}_0\mathrm{\mid }$$ である。$P_0=O$ だから $\mathrm{\mid }U{P}_0\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }U\mathrm{\mid }$ である。三角形 $P_{n}U{P}_{n+1}$ の面積は $$S_n={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\mid }U{P}_n\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }U{P}_{n+1}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\sin \alpha \mathrm{\mid }$$ なので $$S_n={\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^{n+1}\mathrm{\mid }U{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{\mid }\sin \alpha \mathrm{\mid }$$ である。したがって$$S=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{S}_n=\mathrm{\mid }U{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{\mid }\sin \alpha \mathrm{\mid }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^{n+1}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }U{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{\mid }\sin \alpha \mathrm{\mid }}{3}}$$となる。

(1) の座標から $$\mathrm{\mid }U{\mathrm{\mid }}^2={\displaystyle \frac{4\{(2-c{)}^2+s^2\}}{(5-4c{)}^2}}={\displaystyle \frac{4}{5-4c}}={\displaystyle \frac{1}{5\mathrm{/}4-c}}$$ である。よって $$S={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\sin \alpha \mathrm{\mid }}{3(5\mathrm{/}4-\cos \alpha )}}$$ である。 $\mathrm{\mid }\sin \alpha \mathrm{\mid }$ があるので，$0\leqq \alpha \leqq \pi$ で最大を考えればよい。$x=\cos \alpha$ とおくと，$0\leqq \alpha \leqq \pi$ では $$S={\displaystyle \frac{\sqrt{1-x^2}}{3(5\mathrm{/}4-x)}}(-1\leqq x\leqq 1)$$ である。最大値を求めるため，正の量 ${\displaystyle \frac{1-x^2}{(5\mathrm{/}4-x{)}^2}}$ を最大化する。微分すると$${\displaystyle \frac{d}{dx}}\left\{{\displaystyle \frac{1-x^2}{(5\mathrm{/}4-x{)}^2}}\right\}={\displaystyle \frac{2(1-5x\mathrm{/}4)}{(5\mathrm{/}4-x{)}^3}}$$であるから，最大は $x={\displaystyle \frac{4}{5}}$ のときである。このとき $$\sqrt{1-x^2}={\displaystyle \frac{3}{5}},{\displaystyle \frac{5}{4}}-x={\displaystyle \frac{9}{20}}$$ なので $$S_{\max }={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{3\mathrm{/}5}{9\mathrm{/}20}}={\displaystyle \frac{4}{9}}$$ である。

点 $(x,y)$ を複素数 $z=x+iy$ で表す。変換を $z\mapsto rz+1$、$r=e^{i\alpha }\mathrm{/}2$ と書けば、不動点・らせん・軌跡・面積級数が同じ1本の式から得られる。

(1)

$z=x+iy$、$r=e^{i\alpha }\mathrm{/}2$ とおくと変換は$$f(z)=rz+1$$である。不動点 $u$ は$$u=ru+1$$より$$u={\displaystyle \frac{1}{1-r}}={\displaystyle \frac{2}{2-e^{i\alpha }}}\mathrm{.}$$分母を実数化すると$$u={\displaystyle \frac{2(2-\cos \alpha )+2i\sin \alpha }{5-4\cos \alpha }}\mathrm{.}$$よって$$U=({\displaystyle \frac{2(2-\cos \alpha )}{5-4\cos \alpha }},{\displaystyle \frac{2\sin \alpha }{5-4\cos \alpha }})\mathrm{.}$$(2)$$z_{n+1}-u=r(z_n-u)\mathrm{.}$$したがって絶対値は $1\mathrm{/}2$ 倍、偏角は $\alpha$ だけ増える。よって$$\mathrm{\mid }U{P}_{n+1}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\mid }U{P}_n\mathrm{\mid },\mathrm{\angle }{P}_{n}U{P}_{n+1}=\alpha \mathrm{.}$$(3)

$u-1=ru$ から$$\mathrm{\mid }u-1\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$$u=x+iy$ として平方すると$$(x-1{)}^2+y^2={\displaystyle \frac{1}{4}}(x^2+y^2)\mathrm{.}$$整理して$${(x-{\displaystyle \frac{4}{3}})}^2+y^2={\displaystyle \frac{4}{9}}\mathrm{.}$$中心は $(4\mathrm{/}3,0)$、半径は $2\mathrm{/}3$ である。

(4) $$z_n-u=r^n(z_0-u)=-r^{n}u$$なので$$\mathrm{\mid }U{P}_n\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }}{2^n}}\mathrm{.}$$したがって$$S_n={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }}{2^n}}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }}{2^{n+1}}}\mathrm{\mid }\sin \alpha \mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }u{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{\mid }\sin \alpha \mathrm{\mid }}{4^{n+1}}}\mathrm{.}$$ゆえに$$S={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }u{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{\mid }\sin \alpha \mathrm{\mid }}{3}}\mathrm{.}$$また$$\mathrm{\mid }u{\mathrm{\mid }}^2={\displaystyle \frac{4}{5-4\cos \alpha }}\mathrm{.}$$$c=\cos \alpha$ として $S^2$ を最大化すると$$S^2={\displaystyle \frac{16(1-c^2)}{9(5-4c{)}^2}}$$は $c=4\mathrm{/}5$ で最大となる。よって$$S_{\max }={\displaystyle \frac{4}{9}}\mathrm{.}$$