名古屋大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

$\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}$
円の中心は$(0,1)$である。直線$y=bx$、すなわち $bx-y=0$ までの距離は $${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }b\cdot 0-1\mathrm{\mid }}{\sqrt{b^2+1}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+b^2}}}$$ である。円はこの直線に接するので、この距離が半径である。したがって円$C$の方程式は $$x^2+(y-1{)}^2={\displaystyle \frac{1}{1+b^2}}$$ である。

$\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}$
直線$y=bx$への接点は、中心$(0,1)$からこの直線へ下ろした垂線の足である。垂線の傾きは$-{\displaystyle \frac{1}{b}}$なので、垂線は $$y-1=-{\displaystyle \frac{1}{b}}x$$ である。これと$y=bx$を連立すると $$bx-1=-{\displaystyle \frac{1}{b}}x$$ より $(b^2+1)x=b$ である。したがって接点の$x$座標は $$x={\displaystyle \frac{b}{1+b^2}}$$ である。 $b>0$について $${\displaystyle \frac{b}{1+b^2}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$$ であることは $2b\leqq 1+b^2$ すなわち $(b-1{)}^2\geqq 0$ から分かる。等号は $b=1$ のときである。よって接点の$x$座標が最大となるのは$b=1$である。

$\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">3</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}$ $b=1$のとき、円は $$x^2+(y-1{)}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。原点側の円弧は下側の弧なので $$y=1-\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}-x^2}$$ である。直線は$y=x$と$y=-x$で、原点側では下側の境界が $y=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ である。交点は$$x=\pm {\displaystyle \frac{1}{2}}$$なので、求める体積は$$V=\pi {\int }_{-1\mathrm{/}2}^{1\mathrm{/}2}\{{(1-\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}-x^2})}^2-x^2\}dx$$である。

被積分関数を整理すると$${(1-\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}-x^2})}^2-x^2={\displaystyle \frac{3}{2}}-2x^2-2\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}-x^2}$$である。よって$${\int }_{-1\mathrm{/}2}^{1\mathrm{/}2}({\displaystyle \frac{3}{2}}-2x^2)dx={\displaystyle \frac{3}{2}}-2\cdot {\displaystyle \frac{1}{12}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$$である。また $${\int }_{-1\mathrm{/}2}^{1\mathrm{/}2}\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}-x^2}dx={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{\pi }{8}}$$ である。これは半径${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$の円で、中心角が${90}^{\circ }$の扇形から二等辺直角三角形を調整して得られる面積である。

したがって$${\int }_{-1\mathrm{/}2}^{1\mathrm{/}2}\{{(1-\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}-x^2})}^2-x^2\}dx={\displaystyle \frac{4}{3}}-2({\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{\pi }{8}})={\displaystyle \frac{5}{6}}-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$である。ゆえに $$V=\pi ({\displaystyle \frac{5}{6}}-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})={\displaystyle \frac{\pi (10-3\pi )}{12}}$$ である。

(1) (2)は接点を $T=(p,bp)$ と置き、半径 $CT$ と接線の垂直条件から直接求める。(3)は回転体の積分に現れる平方根を $x=(1\mathrm{/}\sqrt{2})\sin \theta$ と置換して評価し、扇形の面積公式に頼らず体積を確定する。

$\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}$
接点を $T=(p,bp)$ とする。半径 $CT$ は直線 $y=bx$ に垂直だから、その方向ベクトル $(1,b)$ との内積が $0$ である。よってすなわち$$p(1+b^2)=b\mathrm{.}$$したがって$$p={\displaystyle \frac{b}{1+b^2}}\mathrm{.}$$半径の2乗は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle C{T}^2}& {\displaystyle =p^2+(bp-1{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{1+b^2}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって円 $C$ は$$x^2+(y-1{)}^2={\displaystyle \frac{1}{1+b^2}}\mathrm{.}$$$\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">2</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}$
接点の $x$ 座標は$$p={\displaystyle \frac{b}{1+b^2}}\mathrm{.}$$$$1+b^2-2b=(b-1{)}^2\geqq 0$$より$${\displaystyle \frac{b}{1+b^2}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}},$$等号は $b=1$ のときである。

$\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">3</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}$
$b=1$ のとき、円弧と2直線に囲まれる部分を $x$ 軸の周りに回す。外半径は$$1-\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}-x^2},$$内半径は $\mid x\mid$、区間は $-1\mathrm{/}2\leqq x\leqq 1\mathrm{/}2$ である。したがって$$V=\pi {\int }_{-1\mathrm{/}2}^{1\mathrm{/}2}\{{(1-\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}-x^2})}^2-x^2\}dx\mathrm{.}$$平方根の積分を独立に計算する。$$x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\sin \theta$$と置けば、端点は $\theta =\pm \pi \mathrm{/}4$ であり、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-1\mathrm{/}2}^{1\mathrm{/}2}\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}-x^2}dx}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_{-\pi \mathrm{/}4}^{\pi \mathrm{/}4}{\cos }^2\theta d\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{\pi }{8}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{V}{\pi }}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4}{3}}-2({\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{\pi }{8}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{5}{6}}-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$V={\displaystyle \frac{\pi (10-3\pi )}{12}}\mathrm{.}$$