名古屋大学 1995年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)

球面 $S$ の式を平方完成すると $x^2-2x+y^2-4y+z^2-4=0$ より $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+z^2=9$ である。したがって，球の中心は $I=(1,2,0)$ で，半径は3である。

平面 $K:x+2y-2z=k$ と中心 $I$ との距離は $${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }1+2\cdot 2-2\cdot 0-k\mathrm{\mid }}{\sqrt{1^2+2^2+(-2{)}^2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }5-k\mathrm{\mid }}{3}}$$ である。球面と平面が共有点を持つためには，この距離が球の半径3以下であればよい。よって ${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }5-k\mathrm{\mid }}{3}}\leqq 3$ すなわち $\mathrm{\mid }5-k\mathrm{\mid }\leqq 9$ である。したがって $-4\leqq k\leqq 14$ である。

(2)

中心 $I$ から平面 $K$ までの距離を $d$ とおく。$0\leqq d\leqq 3$ であり，切り口の円の半径を $\rho$ とすると，球の半径が3なので ${\rho }^2+d^2=9$ である。したがって ${\rho }^2=9-d^2$ である。

この円を底面，球の中心を頂点とする円錐の高さは $d$ であるから，体積 $V$ は $$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi {\rho }^{2}d={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi (9-d^2)d$$ である。定数 $\pi \mathrm{/}3$ を除いて $h(d)=9d-d^3$ を $0\leqq d\leqq 3$ で最大にすればよい。微分すると $h^{\mathrm{\prime }}(d)=9-3d^2=3(3-d^2)$ である。したがって $0<d<3$ では $d=\sqrt{3}$ で増減が増加から減少に変わる。また端点 $d=0,3$ では体積は0なので，最大は $d=\sqrt{3}$ のときである。

ここで $$d={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }5-k\mathrm{\mid }}{3}}$$ だから $${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }5-k\mathrm{\mid }}{3}}=\sqrt{3}$$ である。よって $\mathrm{\mid }5-k\mathrm{\mid }=3\sqrt{3}$ となり，求める値は $k=5\pm 3\sqrt{3}$ である。

球の切り口を底面とする円錐

共有点条件は中心と平面の距離で処理する。体積の2乗を $u=d^2$ の式にし、
3つの正数へ相加相乗平均を用いて微分せずに最大点を決める。

(1)
球面は$$(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+z^2=9$$であり、中心は $I=(1,2,0)$、半径は3である。中心から平面までの距離は$$d={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }5-k\mathrm{\mid }}{3}}\mathrm{.}$$共有点をもつ条件 $d\leqq 3$ より$$-4\leqq k\leqq 14.$$(2)
切り口の半径を $\rho$ とすると$${\rho }^2=9-d^2\mathrm{.}$$円錐の体積は$$V={\displaystyle \frac{\pi }{3}}d(9-d^2)\mathrm{.}$$$u=d^2$ とおくと、最大化すべき $V^2$ の定数を除いた部分は$$u(9-u{)}^2$$である。3つの非負数$$u,{\displaystyle \frac{9-u}{2}},{\displaystyle \frac{9-u}{2}}$$の和は9なので、相加相乗平均より$$u{\left({\displaystyle \frac{9-u}{2}}\right)}^2\leqq 3^3\mathrm{.}$$等号は $u=(9-u)\mathrm{/}2$、すなわち $u=3$ のときである。
よって $d=\sqrt{3}$ で最大となる。したがって$${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }5-k\mathrm{\mid }}{3}}=\sqrt{3}$$から$$k=5\pm 3\sqrt{3}$$を得る。