名古屋大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

円 $C_1$ は $x^2+y^2=1$ であるから，中心は $O=(0,0)$，半径は1である。また $x^2+y^2-6x+5=0$ は $(x-3{)}^2+y^2=4$ と書けるので，円 $C_2$ の中心は $F=(3,0)$，半径は2である。

円 $C$ の中心を $P=(X,Y)$，半径を $r$ とする。$C$ は $C_1$ に外接するから $OP=r+1$ である。また，$OP$ と $x$ 軸の正の部分とのなす角が ${60}^{\circ }$ なので$$P=((r+1)\cos {60}^{\circ },(r+1)\sin {60}^{\circ })=({\displaystyle \frac{r+1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}(r+1)}{2}})$$と表される。

次に，$C$ は $C_2$ にも外接するから $FP=r+2$ である。よって$${({\displaystyle \frac{r+1}{2}}-3)}^2+{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}(r+1)}{2}}\right)}^2=(r+2{)}^2$$を満たす。左辺を整理すると $${\displaystyle \frac{(r-5{)}^2+3(r+1{)}^2}{4}}=r^2-r+7$$ であるから $r^2-r+7=r^2+4r+4$ となる。したがって $5r=3,r={\displaystyle \frac{3}{5}}$ である。

このとき $r+1={\displaystyle \frac{8}{5}}$ なので，中心は $$P=({\displaystyle \frac{4}{5}},{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{5}})$$ である。以上より $$r={\displaystyle \frac{3}{5}},P=({\displaystyle \frac{4}{5}},{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{5}})$$ となる。実際，この点は $OP=8\mathrm{/}5=r+1$ を満たし，$FP=13\mathrm{/}5=r+2$ も満たすので，2つの外接条件に合っている。

3円の外接配置

3つの中心 $O,P,F$ が作る三角形に注目する。2つの外接条件で辺長を $r$ で表し、
$\mathrm{\angle }POF={60}^{\circ }$ に余弦定理を適用して半径を直接決める。

円 $C_1$ の中心を $O=(0,0)$、円 $C_2$ の中心を $F=(3,0)$ とする。
半径はそれぞれ1と2である。円 $C$ が両方に外接するので$$OP=r+1,FP=r+2,OF=3.$$また条件 (b) より $\mathrm{\angle }POF={60}^{\circ }$ である。

三角形 $OPF$ に余弦定理を用いると$$(r+2{)}^2=(r+1{)}^2+3^2-2\cdot (r+1)\cdot 3\cos {60}^{\circ }\mathrm{.}$$右辺を整理して$$r^2+4r+4=r^2-r+7$$となるから$$r={\displaystyle \frac{3}{5}}\mathrm{.}$$$OP=r+1=8\mathrm{/}5$ であり、$OP$ の偏角は ${60}^{\circ }$ なので$$P={\displaystyle \frac{8}{5}}(\cos {60}^{\circ },\sin {60}^{\circ })=({\displaystyle \frac{4}{5}},{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{5}})\mathrm{.}$$よって$$r={\displaystyle \frac{3}{5}},P=({\displaystyle \frac{4}{5}},{\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{5}})$$である。