名古屋大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $C_1$ の中心を $O=(0,0)$，$C_2$ の中心を $F=(3,0)$ とする。$C_1$ の半径は1，$C_2$ の半径は2である。半径 $r$ の円がこの2つの円に外接するので $$O{P}_r=r+1,F{P}_r=r+2$$ である。したがって $F{P}_r-O{P}_r=1$ である。

これは2点 $O,F$ からの距離の差が一定である点の軌跡である。焦点は $(0,0),(3,0)$ なので中心は $({\displaystyle \frac{3}{2}},0)$ であり，焦点距離は $3\mathrm{/}2$ である。また距離の差が1だから，標準形での $2a$ が1，すなわち $a={\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。よって $$b^2={\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2=2$$ である。したがって軌跡の方程式は$${\displaystyle \frac{{(x-{\displaystyle \frac{3}{2}})}^2}{{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{2}}=1$$である。

ただし $F{P}_r-O{P}_r=1>0$ なので，点は $O$ に近い側，すなわち左側の枝にある。さらに問題の条件より $x$ 軸の上側なので $y>0$ の部分だけである。$r>0$ のため，$r=0$ に対応する頂点 $(1,0)$ は含まない。概形は，中心 $(3\mathrm{/}2,0)$，漸近線 $$y=\pm 2\sqrt{2}(x-{\displaystyle \frac{3}{2}})$$ をもつ双曲線の左上の枝である。

(2) $O{P}_r=r+1$ であり，直線 $O{P}_r$ と $x$ 軸とのなす角が ${60}^{\circ }$ であるから $$P_r=({\displaystyle \frac{r+1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}(r+1)}{2}})$$ である。もう一方の外接条件 $F{P}_r=r+2$ を用いると$${({\displaystyle \frac{r+1}{2}}-3)}^2+{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}(r+1)}{2}}\right)}^2=(r+2{)}^2$$である。左辺は $r^2-r+7$ となるので $r^2-r+7=r^2+4r+4$ である。したがって $5r=3$ より $r={\displaystyle \frac{3}{5}}$ である。

外接円の中心が描く双曲線

中心 $P_r=(x,y)$ とおき、2つの外接条件を2乗して差を取る。
$r$ を $x$ で表して消去し、方程式だけでなく枝・端点の条件まで復元する。

(1)
2円の中心を $O=(0,0)$，$F=(3,0)$ とする。外接条件は$$x^2+y^2=(r+1{)}^2,$$$$(x-3{)}^2+y^2=(r+2{)}^2\mathrm{.}$$2式の差を取ると$$-6x+9=2r+3,r=3-3x\mathrm{.}$$これを第1式へ代入して整理すると$$4{(x-{\displaystyle \frac{3}{2}})}^2-{\displaystyle \frac{y^2}{2}}=1,$$すなわち$${\displaystyle \frac{(x-3\mathrm{/}2{)}^2}{(1\mathrm{/}2{)}^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{2}}=1.$$$r>0$ より $x<1$、また $x$ 軸の上側より $y>0$ である。
したがって軌跡はこの双曲線の左上の枝で、頂点 $(1,0)$ は含まない。

(2)
角条件より$$P_r=({\displaystyle \frac{r+1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}(r+1)}{2}})\mathrm{.}$$これを $r=3-3x$ へ代入すると$$r=3-{\displaystyle \frac{3}{2}}(r+1),$$したがって$$r={\displaystyle \frac{3}{5}}$$である。