名古屋大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験 文系理系数学 第4問(a)

3人が1回じゃんけんをするとき，結果は全部で $3^3=27$ 通りで等確率である。

全員が同じ手を出す場合は3通り，全員が異なる手を出す場合は $3\cdot 2\cdot 1=6$ 通りで，このとき順位は何も決まらない。したがって，3人のままやり直しになる確率は $${\displaystyle \frac{3+6}{27}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$$ である。それ以外の18通りでは，1人だけが勝つか，1人だけが負けるので，1位または3位が1つ確定する。この確率は $${\displaystyle \frac{18}{27}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$$ である。

残った2人のじゃんけんでは，1回で順位が決まる確率は ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ であり，あいこでやり直しになる確率は ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。

ちょうど $n$ 回目で3人の順位が確定するには，まず3人の段階で $k$ 回何も決まらず，$k+1$ 回目に1つの順位が決まり，その後2人の段階で $n-k-2$ 回あいこが続き，最後に決着すればよい。ここで $k=0,1,\dots ,n-2$ である。したがって $n\geqq 2$ のとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(n)}& {\displaystyle =\sum _{k=0}^{n-2}{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^k{\displaystyle \frac{2}{3}}{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{n-k-2}{\displaystyle \frac{2}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{k=0}^{n-2}{\displaystyle \frac{4}{3^n}}={\displaystyle \frac{4(n-1)}{3^n}}}\end{array}$$である。1回だけで3人の順位がすべて確定することはないので $P(1)=0$ である。

「まだ3人のまま」と「1人の順位だけ決まり2人が残った」の2状態を追う。各時刻の状態確率に漸化式を立て、ちょうど $n$ 回目に2人状態から決着する確率を求める。

$n$ 回終了後も3人の順位が1つも決まっていない確率を $u_n$、
1人の順位だけ決まり残り2人が未決着である確率を $v_n$ とする。
初期値は$$u_0=1,v_0=0.$$3人のじゃんけんで何も決まらない確率は $1\mathrm{/}3$、1人の順位が決まる確率は $2\mathrm{/}3$ である。
また2人のじゃんけんがあいこになる確率は $1\mathrm{/}3$ である。したがって$$u_n={\displaystyle \frac{1}{3}}{u}_{n-1},v_n={\displaystyle \frac{2}{3}}{u}_{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{3}}{v}_{n-1}\mathrm{.}$$第1式から$$u_n={\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^n\mathrm{.}$$第2式に代入し、$w_n=3^n{v}_n$ とおくと$$w_n=w_{n-1}+2,w_0=0.$$よって$$v_n={\displaystyle \frac{2n}{3^n}}\mathrm{.}$$ちょうど $n$ 回目で全順位が確定するには、$n-1$ 回後に2人状態にあり、
最後のじゃんけんで決着すればよい。したがって $n\geqq 2$ では$$P(n)={\displaystyle \frac{2}{3}}{v}_{n-1}={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{2(n-1)}{3^{n-1}}}={\displaystyle \frac{4(n-1)}{3^n}}\mathrm{.}$$1回で3人の全順位が決まることはないので$$P(1)=0.$$