名古屋大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験 理系理系数学 第4問(b)

(1) $n\geqq 1$ とする。定義より $$f_n(x)=\sum _{k=0}^n{\displaystyle \frac{(-1{)}^k{x}^k}{k!}}$$ である。これを微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {f_n}^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{(-1{)}^{k}k{x}^{k-1}}{k!}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{(-1{)}^k{x}^{k-1}}{(k-1)!}}}\end{array}$$である。ここで $j=k-1$ とおくと $${f_n}^{\mathrm{\prime }}(x)=\sum _{j=0}^{n-1}{\displaystyle \frac{(-1{)}^{j+1}{x}^j}{j!}}=-f_{n-1}(x)$$ となる。

(2) $g_n(x)=f_n(x)-e^{-x}$ とおく。すべての $n$ について $g_n(0)=f_n(0)-1=0$ である。また(1)より $$g_n^{\mathrm{\prime }}(x)={f_n}^{\mathrm{\prime }}(x)+e^{-x}=-f_{n-1}(x)+e^{-x}=-g_{n-1}(x)$$ である。

まず $$g_0(x)=1-e^{-x}\geqq 0(x\geqq 0)$$ である。ある $n-1$ について $g_{n-1}(x)\geqq 0$ が $x\geqq 0$ で成り立つなら，$$g_n^{\mathrm{\prime }}(x)=-g_{n-1}(x)\leqq 0$$ であり，$g_n(0)=0$ だから $x\geqq 0$ で $g_n(x)\leqq 0$ となる。逆に $g_{n-1}(x)\leqq 0$ なら $g_n^{\mathrm{\prime }}(x)\geqq 0$ であり，$g_n(0)=0$ から $g_n(x)\geqq 0$ となる。

したがって符号は $n$ の偶奇で交互に変わり，$x\geqq 0$ において $n\text{ が偶数なら }{g}_n(x)\geqq 0,n\text{ が奇数なら }{g}_n(x)\leqq 0$ である。すなわち$$n\text{ が偶数なら }{f}_n(x)\geqq e^{-x},n\text{ が奇数なら }{f}_n(x)\leqq e^{-x}$$である。

(3) $n$ を奇数とする。このとき $n-1$ は偶数であるから，(2)より $$f_{n-1}(x)\geqq e^{-x}>0(x\geqq 0)$$ である。したがって(1)から $$f_n^{\mathrm{\prime }}(x)=-f_{n-1}(x)<0(x\geqq 0)$$ であり，$f_n(x)$ は $x\geqq 0$ で狭い意味で単調減少である。

また $f_n(0)=1>0$ である。一方，$n$ は奇数なので $f_n(x)$ の最高次の項は $-{\displaystyle \frac{x^n}{n!}}$ であり，$x$ が十分大きくなると他の項を上回って $f_n(x)<0$ となる。よって連続性により $x\geqq 0$ に少なくとも1つの解がある。

さらに $f_n$ は $x\geqq 0$ で単調減少であるから，解は2つ以上存在しない。したがって $f_n(x)=0$ は $x\geqq 0$ の範囲でただ1つの解をもつ。

(2) を有限和の帰納法ではなく、指数関数の積分形の剰余として表す。差 $f_n-e^{-x}$ が符号の明らかな定積分になるため偶奇による大小が直ちに分かる。(3)は(1)(2)から単調性を得て、存在と一意性を分けて示す。

(1)

定義式を項別に微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f_n^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =-1+x-{\displaystyle \frac{x^2}{2!}}+\cdots +{\displaystyle \frac{(-1{)}^n{x}^{n-1}}{(n-1)!}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-f_{n-1}(x)\mathrm{.}}\end{array}$$(2)

次の積分表示を示す。$$\begin{array}{cccc}& f_n(x)-e^{-x}={\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n!}}{\int }_0^x{e}^{-t}(x-t{)}^{n}dt\mathrm{.}& & \text{(*)}\end{array}$$$n=0$ では右辺は$${\int }_0^x{e}^{-t}dt=1-e^{-x}=f_0(x)-e^{-x}$$である。また右辺の積分を部分積分すると、次数が1つ下がるため帰納的に $(\ast )$ が得られる。

$x\geqq 0$ では$${\int }_0^x{e}^{-t}(x-t{)}^{n}dt\geqq 0.$$したがって $(\ast )$ より$$\{\begin{array}{ll}{f}_n(x)\geqq e^{-x},& n\text{ が偶数},\\ f_n(x)\leqq e^{-x},& n\text{ が奇数}\mathrm{.}\end{array}$$(3)

$n$ を奇数とすると $n-1$ は偶数なので、(2)から$$f_{n-1}(x)\geqq e^{-x}>0(x\geqq 0)\mathrm{.}$$(1)より$$f_n^{\mathrm{\prime }}(x)=-f_{n-1}(x)<0,$$ゆえに $f_n$ は狭い意味で単調減少する。

一方、$$f_n(0)=1>0$$であり、最高次項は $-x^n\mathrm{/}n!$ だから $x$ が十分大きければ $f_n(x)<0$ となる。連続性により解は少なくとも1つ存在し、狭義単調性により2つ以上は存在しない。したがって $x\geqq 0$ にただ1つの解をもつ。