名古屋大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 図形と方程式・微分理系数学 第4問(b)

(1)
直線 $y=x+k$ を楕円 $${\displaystyle \frac{x^2}{9}}+{\displaystyle \frac{y^2}{4}}=1$$ に代入すると $${\displaystyle \frac{x^2}{9}}+{\displaystyle \frac{(x+k{)}^2}{4}}=1$$ である。両辺を36倍して整理すると $13x^2+18kx+9k^2-36=0$ を得る。この二次方程式が異なる2つの実数解をもつことが、楕円と直線が二つの共有点をもつ条件である。

判別式を $D$ とすると $$D=(18k{)}^2-4\cdot 13(9k^2-36)=144(13-k^2)$$ である。よって $D>0$ より $13-k^2>0$ すなわち $$-\sqrt{13}<k<\sqrt{13}$$ である。

(2)
2つの共有点の $x$ 座標を $\alpha ,\beta$ とする。すると $$P=(\alpha ,\alpha +k),Q=(\beta ,\beta +k)$$ であるから、三角形 $OPQ$ の面積を $S$ とすると$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid \alpha (\beta +k)-\beta (\alpha +k)\mid ={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\alpha -\beta \mathrm{\mid }$$である。

二次方程式 $13x^2+18kx+9k^2-36=0$ の根の差は $$\mathrm{\mid }\alpha -\beta \mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\sqrt{D}}{13}}={\displaystyle \frac{12\sqrt{13-k^2}}{13}}$$ である。したがって $$S={\displaystyle \frac{6\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }\sqrt{13-k^2}}{13}}(0<\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }<\sqrt{13})$$ である。

ここで $u=k^2$ とおくと $$\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }\sqrt{13-k^2}=\sqrt{u(13-u)}$$ であり、$0<u<13$ である。積 $u(13-u)$ は $$u(13-u)=-{(u-{\displaystyle \frac{13}{2}})}^2+{\left({\displaystyle \frac{13}{2}}\right)}^2$$ より $u=13\mathrm{/}2$ のとき最大となる。よって $$k^2={\displaystyle \frac{13}{2}}$$ であるから $$k=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{13}{2}}}$$ である。このとき最大面積は $$S_{\max }={\displaystyle \frac{6}{13}}\sqrt{{\displaystyle \frac{13}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{13}{2}}}=3$$ である。

$x=3u,y=2v$ により楕円を単位円へ移す。直線は単位円の弦となるので、原点から弦までの距離と弦長だけで変換後の三角形の面積を出す。元の平面へ戻す際の面積倍率6を掛け、相加相乗で最大化する。

(1) $$x=3u,y=2v$$とおくと、楕円は単位円$$u^2+v^2=1$$へ移り、直線は$$-3u+2v=k$$となる。原点からこの直線までの距離は $\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }\mathrm{/}\sqrt{13}$ である。単位円と異なる2点で交わる条件は、この距離が1より小さいことだから$$\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }<\sqrt{13}\mathrm{.}$$(2)
変換後の平面で、弦までの距離を$$d={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }}{\sqrt{13}}}$$とすると、弦長は$$2\sqrt{1-d^2}$$である。従って変換後の三角形の面積は$${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2\sqrt{1-d^2}\cdot d={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }\sqrt{13-k^2}}{13}}\mathrm{.}$$$(u,v)$ から $(x,y)$ への変換は横を3倍、縦を2倍するので面積を6倍する。よって$$S={\displaystyle \frac{6\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }\sqrt{13-k^2}}{13}}\mathrm{.}$$$k\mathrm{\ne }0$ であり、正の2数 $k^2,13-k^2$ の和は13だから$$k^2(13-k^2)\leqq {\left({\displaystyle \frac{13}{2}}\right)}^2\mathrm{.}$$等号は $k^2=13-k^2$ のときである。従って$$k=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{13}{2}}},S_{\max }=3.$$