名古屋大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 複素数平面・数列理系数学 第4問(a)

(1) $z=1$ のときは $S_1=1+1+\cdots +1=N$ である。 $z\mathrm{\ne }1$ のときは $(1-z)S_1=1-z^N$ である。仮定より $z^N=1$ だから $(1-z)S_1=0$ であり、$1-z\mathrm{\ne }0$ より $S_1=0$ である。したがって$$S_1=\{\begin{array}{ll}N& (z=1),\\ 0& (z\mathrm{\ne }1)\end{array}$$である。

(2) $$z=\cos \theta +i\sin \theta$$ であるから $$z^k=\cos k\theta +i\sin k\theta$$ である。よって $$S_2=1+\cos \theta +\cdots +\cos (N-1)\theta$$ は $S_1$ の実部である。(1)の値はどちらの場合も実数なので$$S_2=\{\begin{array}{ll}N& (z=1),\\ 0& (z\mathrm{\ne }1)\end{array}$$である。

(3)
恒等式 $${\cos }^{2}x={\displaystyle \frac{1+\cos 2x}{2}}$$ を用いると$$S_3={\displaystyle \frac{N}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}(1+\cos 2\theta +\cos 4\theta +\cdots +\cos 2(N-1)\theta )$$である。括弧内の和は、複素数 $z^2$ に対して(2)と同じ和を考えたものの実部である。しかも $(z^2{)}^N=z^{2N}=1$ である。

もし $z^2=1$ なら、すなわち $z=1$ または $z=-1$ なら、括弧内の各項はすべて $1$ なので、その和は $N$ である。したがって $$S_3={\displaystyle \frac{N}{2}}+{\displaystyle \frac{N}{2}}=N$$ である。

一方、$z^2\mathrm{\ne }1$ なら、(2)と同じ理由で括弧内の和は $0$ である。したがって $$S_3={\displaystyle \frac{N}{2}}$$ である。以上より$$S_3=\{\begin{array}{ll}N& (z=1\text{ または }z=-1),\\ {\displaystyle \frac{N}{2}}& (z\mathrm{\ne }1,-1)\end{array}$$である。

$2\cos k\theta =z^k+z^{-k}$ を使って余弦和を正負のべきの等比数列和に直す。さらに $4{\cos }^{2}k\theta =z^{2k}+2+z^{-2k}$ とすれば、$S_3$ は $z^2=1$ かどうかだけで場合分けできる。

(1)
$z=1$ なら $S_1=N$ である。$z\mathrm{\ne }1$ なら$$(1-z)S_1=1-z^N=0$$より $S_1=0$ である。

(2) $$2\cos k\theta =z^k+z^{-k}$$だから$$2S_2=\sum _{k=0}^{N-1}{z}^k+\sum _{k=0}^{N-1}{z}^{-k}\mathrm{.}$$$z=1$ なら右辺は $2N$ である。$z\mathrm{\ne }1$ なら、$z$ と $z^{-1}$ はともに1ではない $N$ 乗根なので両方の和が0になる。従って$$S_2=\{\begin{array}{ll}N& (z=1),\\ 0& (z\mathrm{\ne }1)\mathrm{.}\end{array}$$(3)$$4{\cos }^{2}k\theta =z^{2k}+2+z^{-2k}$$より$$4S_3=\sum _{k=0}^{N-1}{z}^{2k}+2N+\sum _{k=0}^{N-1}{z}^{-2k}\mathrm{.}$$$z^2=1$、すなわち $z=\pm 1$ なら両方の和が $N$ なので $S_3=N$ である。$z^2\mathrm{\ne }1$ なら両方とも等比数列和が0なので $S_3=N\mathrm{/}2$ である。よって$$S_3=\{\begin{array}{ll}N& (z=1\text{ または }z=-1),\\ {\displaystyle \frac{N}{2}}& (z\mathrm{\ne }1,-1)\mathrm{.}\end{array}$$