名古屋大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
点 $A(2,0)$ を通る、$y$ 軸に平行でない直線を $y=m(x-2)$ とおく。これを双曲線 $x^2-y^2=1$ に代入すると $x^2-m^2(x-2{)}^2=1$ すなわち $$(1-m^2)x^2+4m^{2}x-4m^2-1=0$$ である。

この方程式が2次方程式であるとき、その判別式は $$(4m^2{)}^2-4(1-m^2)(-4m^2-1)=4(3m^2+1)>0$$ である。したがって2次方程式の場合には交点は2点であり、1点のみにはならない。よって1点のみで交わるには、2次の係数が消える必要がある。すなわち $1-m^2=0$ より $m=\pm 1$ である。このとき実際に一次方程式となり、交点は1点である。求める直線は $y=x-2,y=-x+2$ である。なお、点 $A$ を通る垂直線 $x=2$ は双曲線と2点で交わるので該当しない。

(2) $m\mathrm{\ne }\pm 1$ とし、直線が双曲線と相異なる2点で交わるとする。2交点の $x$ 座標を $x_1,x_2$ とすると、上の2次方程式の解と係数の関係から $$x_1+x_2=-{\displaystyle \frac{4m^2}{1-m^2}}$$ である。したがって中点の $x$ 座標を $X$ とすると $$X={\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}}=-{\displaystyle \frac{2m^2}{1-m^2}}$$ である。

中点は直線 $y=m(x-2)$ 上にあるから、その $y$ 座標を $Y$ とすると $$Y=m(X-2)=m(-{\displaystyle \frac{2m^2}{1-m^2}}-2)=-{\displaystyle \frac{2m}{1-m^2}}$$ である。ここから $$X-1=-{\displaystyle \frac{1+m^2}{1-m^2}},Y=-{\displaystyle \frac{2m}{1-m^2}}$$ なので$$(X-1{)}^2-Y^2={\displaystyle \frac{(1+m^2{)}^2-4m^2}{(1-m^2{)}^2}}={\displaystyle \frac{(1-m^2{)}^2}{(1-m^2{)}^2}}=1$$である。よって2交点の中点は、ひとつの双曲線 $(X-1{)}^2-Y^2=1$ 上にある。

双曲線を二次形式 $Q(x,y)=x^2-y^2$ で見る。
弦の中点 $M$ と半弦ベクトル $\mathit{d}$ を用い、
$Q(M+\mathit{d})=Q(M-\mathit{d})$ を引く。
弦が $A$ を通る条件と合わせると、中点軌跡が直接得られる。

(1)
$A$ を通る直線を$$(x,y)=(2,0)+t(u,v)$$と表す。双曲線へ代入すると$$(u^2-v^2)t^2+4ut+3=0.$$$u^2-v^2\mathrm{\ne }0$ なら判別式は$$16u^2-12(u^2-v^2)=4u^2+12v^2>0$$で、相異なる2交点をもつ。1点だけで交わるには
$u^2-v^2=0$、すなわち $v=\pm u$ が必要である。よって$$y=x-2,y=-x+2.$$(2)
2交点を$$M+\mathit{d}=(X+u,Y+v),M-\mathit{d}=(X-u,Y-v)$$とする。両点が双曲線上なので2式を引くと$$Xu-Yv=0.$$弦は $A=(2,0)$ を通るから、$\mathit{d}$ は
$(X-2,Y)$ と平行である。したがって上式へ
$(u,v)=k(X-2,Y)$ を代入し、$$X(X-2)-Y^2=0.$$よって$$(X-1{)}^2-Y^2=1.$$したがって全ての中点はこの1つの双曲線上にある。