Evolton
方針
1秒鳴る区間と2秒鳴る区間を合わせて 個の音の区間と見る。信号は音で終わるので、休みは音の区間の間にだけ入り、回数は 回である。総時間から を得て、その非負整数解ごとに、音の区間の並べ方を組合せで数える。
解答
(1)
1秒鳴る区間が 回、2秒鳴る区間が 回あるとする。音が鳴っている時間の合計は 秒である。
また、音の区間は全部で 個ある。信号はサイレンの音で始まり、サイレンの音で終わるので、休みは隣り合う音の区間の間にだけ入る。したがって休みの回数は 回であり、休み時間の合計も 秒である。
全体が16秒なので である。よって を得る。
(2) は0以上の整数で、 を満たす。 が偶数でなければならないので、 は奇数である。調べると の3通りである。
それぞれについて、 個の音の区間のうち、どの 個を2秒鳴る区間にするかを選べば信号が決まる。したがって通り数はである。よって求める総数は通りである。
別解
解法2（長さ2・3の部品の漸化式）
方針
信号の最後に架空の1秒休止を加える。
すると長さ17を、長さ2または3の部品を順に並べて作る問題になる。
長さ の作り方 に対する漸化式を計算する。
解答
(1)
最後に架空の1秒休止を加えると、全体の長さは17秒になる。
「1秒鳴る、1秒休む」を長さ2の部品、
「2秒鳴る、1秒休む」を長さ3の部品と見れば(2)
長さ を2または3の部品で作る並べ方を とする。
最後の部品が2か3かで分ければ初期値をとすると、順にとなる。よって信号は通りである。架空の最後の休止を取り除けば、問題文どおり音で終わる。
総評
難度4、計算量4。休み時間を最後に入れないことが最大の注意点である。採点上は、音の区間が 個なら休みは 回であることを明記し、 の整数解を漏れなく列挙する必要がある。並べ方は「2秒鳴る区間の位置を選ぶ」と見ると重複なく数えられる。目安は12分程度。 2つの解法は標準的な答案手順と、別の構造から検算できる経路に分けた。必要性と十分性、場合分け、等号条件を明示し、積分・総和・極限と主要な分数は読みやすい表示形式に統一した。