名古屋大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $n=5$ のとき、$2b\leqq 5$ より $b=0,1,2$ である。$b$ を固定すると、$a$ は $0\leqq a\leqq 2b$ を満たす整数なので $2b+1$ 通り、$c$ は $2b\leqq c\leqq 5$ を満たす整数なので $6-2b$ 通りである。したがって $$P(5)=\sum _{b=0}^2(2b+1)(6-2b)$$ である。具体的には $$P(5)=1\cdot 6+3\cdot 4+5\cdot 2=28$$ である。

(2) $n$ が奇数なので $n=2m+1$ とおく。$2b\leqq n$ より $b=0,1,\dots ,m$ である。$b$ を固定すると、$a$ は $0$ から $2b$ までの $2b+1$ 通りであり、$c$ は $2b$ から $2m+1$ までの $(2m+1)-2b+1=2m+2-2b$ 通りである。よって $$P(n)=\sum _{b=0}^m(2b+1)(2m+2-2b)$$ である。

和を整理する。 $$(2b+1)(2m+2-2b)=-4b^2+(4m+2)b+(2m+2)$$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(n)}& {\displaystyle =-4\sum _{b=0}^m{b}^2+(4m+2)\sum _{b=0}^{m}b+(2m+2)(m+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-4\cdot \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}+(4m+2)\cdot \frac{m(m+1)}{2}+2(m+1{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(m+1)(m+2)(2m+3)}{3}}}\end{array}$$である。ここに $m=(n-1)\mathrm{/}2$ を代入して $$P(n)={\displaystyle \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{12}}$$ である。

$n=2m+1$ とし、$b$ を固定した個数を数える点は同じだが、
積を展開せず $j=m-b$ と置いて奇数の和・平方和へ分解する。
最後に $n$ へ戻し、(1)も一般式で検算する。

(1)
$b=0,1,2$ の各場合の個数は$$(2b+1)(6-2b)$$だから$$P(5)=1\cdot 6+3\cdot 4+5\cdot 2=28.$$(2)
$n=2m+1$ とする。$b=0,1,\dots ,m$ に対し、
$a$ は $2b+1$ 通り、$c$ は $2(m-b+1)$ 通りである。よって$$P(2m+1)=2\sum _{b=0}^m(2b+1)(m-b+1)\mathrm{.}$$$j=m-b$ と置けば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(2m+1)}& {\displaystyle =2\sum _{j=0}^m\{2(m-j)+1\}(j+1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(2m+1)\sum _{j=0}^m(j+1)-4\sum _{j=0}^{m}j(j+1)\mathrm{.}}\end{array}$$$$\sum _{j=0}^m(j+1)={\displaystyle \frac{(m+1)(m+2)}{2}}$$および$$\sum _{j=0}^{m}j(j+1)={\displaystyle \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}}+{\displaystyle \frac{m(m+1)}{2}}$$を代入して整理すると$$P(2m+1)={\displaystyle \frac{(m+1)(m+2)(2m+3)}{3}}\mathrm{.}$$$m=(n-1)\mathrm{/}2$ だから$$P(n)={\displaystyle \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{12}}\mathrm{.}$$$n=5$ を代入すれば28となり、(1)とも一致する。