名古屋大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)
表の出た回数を $h$ とする。3回投げたとき、裏の回数は $3-h$ であるから、全移動数は $2h+(3-h)=3+h$ である。最後に $A$ にいるためには、出発点から4の倍数だけ進めばよい。したがって $3+h\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ が必要十分である。$0\leqq h\leqq 3$ より、これを満たすのは $h=1$ だけである。

表が1回出る動き方は、3回のうちどの1回を表にするかで決まるので ${}_3{\mathrm{C}}_1=3$ 通りである。よって答えは $3$ 通り、すなわち $3$ である。

(2)
10回投げるときも同様に、表の回数を $h$ とすると全移動数は $2h+(10-h)=10+h$ である。最後に $A$ にいる条件は $10+h\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ であり、$10\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ だから $h\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ である。$0\leqq h\leqq 10$ の範囲でこれは $h=2,6,10$ を与える。

したがって求める動き方の数は$${}_{10}{\mathrm{C}}_2+{}_{10}{\mathrm{C}}_6+{}_{10}{\mathrm{C}}_{10}=45+210+1=256$$通りである。よって答えは $256$ 通り、すなわち $256$ である。

$n$ 回後に各頂点へ着く通り数を4成分で持つ。ある頂点へは、1つ前の頂点から裏、2つ前の頂点から表で来るので、4成分を順に更新する。

(1)
$n$ 回後に $A,B,C,D$ にいる動き方の数を順に並べて$$(a_n,b_n,c_n,d_n)$$とする。各頂点へは、時計回りに1つ前の頂点から裏、2つ前の頂点から表で来る。したがって$$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle a_{n+1}}& {\displaystyle =d_n+c_n,}& {\displaystyle b_{n+1}}& {\displaystyle =a_n+d_n,}\\ {\displaystyle c_{n+1}}& {\displaystyle =b_n+a_n,}& {\displaystyle d_{n+1}}& {\displaystyle =c_n+b_n}\end{array}$$である。初めは $$(a_0,b_0,c_0,d_0)=(1,0,0,0)$$ である。

順に更新すると$$\begin{array}{crrrr}n& a_n& b_n& c_n& d_n\\ 1& 0& 1& 1& 0\\ 2& 1& 0& 1& 2\\ 3& 3& 3& 1& 1\\ 4& 2& 4& 6& 4\\ 5& 10& 6& 6& 10\\ 6& 16& 20& 16& 12\\ 7& 28& 28& 36& 36\\ 8& 72& 64& 56& 64\\ 9& 120& 136& 136& 120\\ 10& 256& 240& 256& 272\end{array}$$となる。したがって3回後に $A$ に戻る通り数は $a_3=3$ である。

(2)
同じ表の10回目の行から、10回後に $A$ に戻る通り数は $a_{10}=256$ である。