名古屋大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験 ベクトル・図形と方程式文系数学 第3問(a)

(1)

点 $Q$ は直線 $OA$ 上にあり、$$\overrightarrow{OQ}=s\overrightarrow{OA}$$ である。また $P$ を通り $OB$ に平行な直線が $OA$ と交わる点が $Q$ なので、$P-Q$ は $OB$ 方向である。同様に、$R$ の条件から $P-R$ は $OA$ 方向である。したがって $$\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$$ と表せる。

いま $$\overrightarrow{OA}=(2a,a),\overrightarrow{OB}=(0,2b)$$ であるから、$P=(x,y)$ とすると $x=2as,y=as+2bt$ である。よって $$s={\displaystyle \frac{x}{2a}},t={\displaystyle \frac{y-x\mathrm{/}2}{2b}}$$ である。

条件 $t=(s-k{)}^2$ を代入すると $${\displaystyle \frac{y-x\mathrm{/}2}{2b}}={({\displaystyle \frac{x}{2a}}-k)}^2$$ である。したがって曲線 $F$ の方程式は $$y={\displaystyle \frac{x}{2}}+2b{({\displaystyle \frac{x}{2a}}-k)}^2$$ である。

(2)

点 $A$ は斜交座標で $(s,t)=(1,0)$ に対応する。また $C$ は $OB$ の中点だから $$\overrightarrow{OC}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{OB}$$ であり、斜交座標では $(s,t)=(0,1\mathrm{/}2)$ に対応する。

したがって直線 $AC$ は、$(s,t)$ 平面では2点 $(1,0)$、$(0,1\mathrm{/}2)$ を通る直線であり、方程式は $$t={\displaystyle \frac{1-s}{2}}$$ である。

曲線 $F$ は $t=(s-k{)}^2$ であるから、直線 $AC$ と $F$ が接するためには $$(s-k{)}^2={\displaystyle \frac{1-s}{2}}$$ が重解をもてばよい。整理すると $2s^2+(1-4k)s+2k^2-1=0$ である。この2次方程式が重解をもつ条件は判別式が0であることだから $(1-4k{)}^2-8(2k^2-1)=0$ である。これを整理して $9-8k=0$ となる。したがって $k={\displaystyle \frac{9}{8}}$ である。

まず $(s,t)$ と $(x,y)$ の変換式から
放物線 $F$ を通常座標で表す。
直線 $AC$ も2点の座標から求め、両式を直接連立して重解条件を課す。

(1) $$\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$$より$$x=2as,y=as+2bt\mathrm{.}$$したがって$$s={\displaystyle \frac{x}{2a}},t={\displaystyle \frac{y-x\mathrm{/}2}{2b}}\mathrm{.}$$$t=(s-k{)}^2$ を代入すると$$F:y={\displaystyle \frac{x}{2}}+2b{({\displaystyle \frac{x}{2a}}-k)}^2\mathrm{.}$$(2)

$A=(2a,a)$、$C=(0,b)$ だから$$AC:y=b+{\displaystyle \frac{a-b}{2a}}x\mathrm{.}$$これを $F$ と連立し、$s=x\mathrm{/}(2a)$ と置くと$$as+2b(s-k{)}^2=b+(a-b)s,$$すなわち$$(s-k{)}^2={\displaystyle \frac{1-s}{2}}\mathrm{.}$$整理して$$2s^2+(1-4k)s+2k^2-1=0.$$接するとき、この2次方程式は重解をもつから$$(1-4k{)}^2-8(2k^2-1)=0.$$左辺は $9-8k$ となるので、$k>0$ も満たす値は$$k={\displaystyle \frac{9}{8}}$$である。