名古屋大学 2001年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)

まず$$A\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$$である。したがって、この方向に対しては $k=1$ である。

また$$A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$である。したがって、もう一つの値は $k=2$ である。よって $k=1,2$ であり、$k_1=1,k_2=2$ である。

(2)

(1) で得た2つの方向を長さ1にそろえると ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}(1,-1),{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}(1,1)$ である。条件 $a>0,c>0$ に合わせて、これらを行に並べ$$P={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$$とする。

このとき2つの行ベクトルは長さ1で互いに垂直なので $P^{\mathrm{\prime }}P=E$ である。また、直接計算により$$PA=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)P$$である。したがって$$A=P^{-1}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)P=P^{-1}BP$$となり、条件を満たす。

(3)

(2) の $P$ により $$x^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{x-y}{\sqrt{2}}},y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{x+y}{\sqrt{2}}}$$ である。これは原点を中心とする45度の回転であり、距離を保つ変換である。

もとの円 $x^2+(y-1{)}^2=1$ は、中心 $(0,1)$、半径1の円である。中心 $(0,1)$ は $P$ によって$$({\displaystyle \frac{0-1}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{0+1}{\sqrt{2}}})=(-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})$$へ移る。半径は変わらない。

したがって点 $(x^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }})$ の軌跡は$${(x^{\mathrm{\prime }}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})}^2+{(y^{\mathrm{\prime }}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})}^2=1$$である。すなわち、中心 $(-1\mathrm{/}\sqrt{2},1\mathrm{/}\sqrt{2})$、半径1の円である。

(4) $P$ は原点中心に45度回転する変換である。$P^n$ がすべての $(x,y)$ を動かさないためには、回転角 $45n^{\circ }$ が ${360}^{\circ }$ の整数倍でなければならない。

最小の自然数 $n$ は $45n=360$ を満たす $n=8$ である。

特性方程式で2つの値を求め、
直交行列を回転行列の形で決定する。
円の式には逆変換を直接代入し、行列の回転角から周期を求める。

(1) $$\det (A-kE)={({\displaystyle \frac{3}{2}}-k)}^2-{\displaystyle \frac{1}{4}}=(k-1)(k-2)\mathrm{.}$$よって$$k_1=1,k_2=2.$$(2)

$P^{\mathrm{\prime }}P=E$ かつ $a,c>0$ より、条件に合う回転行列を$$P=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$と置ける。関係 $PA=BP$ の第1行は固有値1、第2行は固有値2の
方向を表すので$$(\cos \theta ,-\sin \theta )\parallel (1,-1),(\sin \theta ,\cos \theta )\parallel (1,1)\mathrm{.}$$$a,c>0$ から $\theta =\pi \mathrm{/}4$ であり$$P={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$(3)

逆変換は$$x={\displaystyle \frac{x^{\mathrm{\prime }}+y^{\mathrm{\prime }}}{\sqrt{2}}},y={\displaystyle \frac{-x^{\mathrm{\prime }}+y^{\mathrm{\prime }}}{\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$これを $x^2+(y-1{)}^2=1$ に代入して整理すると$${(x^{\mathrm{\prime }}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})}^2+{(y^{\mathrm{\prime }}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})}^2=1.$$中心 $(-1\mathrm{/}\sqrt{2},1\mathrm{/}\sqrt{2})$、半径1の円である。

(4)

$P$ は角 $\pi \mathrm{/}4$ の回転を表すので、$P^n=E$ となる最小の自然数は$$n\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{4}}=2\pi$$を満たす$$n=8$$である。