名古屋大学 2001年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $$f_0(x)=1,f_1(x)=x+a$$ である。直交条件 $${\int }_{-1}^1{f}_0(x)f_1(x)dx=0$$ より $${\int }_{-1}^1(x+a)dx=2a=0$$ であるから $a=0$ である。したがって $f_1(x)=x$ である。

次に $f_2(x)=x^2+bx+c$ である。条件 $${\int }_{-1}^1{f}_1(x)f_2(x)dx=0$$ より $${\int }_{-1}^{1}x(x^2+bx+c)dx=0$$ である。奇関数の積分は0なので、残るのは $$b{\int }_{-1}^1{x}^{2}dx={\displaystyle \frac{2b}{3}}=0$$ であり、$b=0$ である。

さらに $${\int }_{-1}^1{f}_0(x)f_2(x)dx=0$$ より $${\int }_{-1}^1(x^2+c)dx={\displaystyle \frac{2}{3}}+2c=0$$ だから $c=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。よって $$a=0,b=0,c=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$$ である。

(2)

(1) より $$f_0(x)=1,f_1(x)=x,f_2(x)=x^2-{\displaystyle \frac{1}{3}}$$ である。したがって $${\int }_{-1}^1{f}_0(x{)}^{2}dx={\int }_{-1}^{1}1dx=2,$$ $${\int }_{-1}^1{f}_1(x{)}^{2}dx={\int }_{-1}^1{x}^{2}dx={\displaystyle \frac{2}{3}}$$ である。また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-1}^1{f}_2(x{)}^{2}dx}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^1{(x^2-{\displaystyle \frac{1}{3}})}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_{-1}^1(x^4-{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{9}})dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{5}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{9}}\cdot 2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{8}{45}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって $2,{\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{8}{45}}$ である。

(3)

まず$${\int }_{-1}^1\cos (\pi x)dx={\left[{\displaystyle \frac{\sin (\pi x)}{\pi }}\right]}_{-1}^1=0$$である。また $x\cos (\pi x)$ は奇関数なので $${\int }_{-1}^{1}x\cos (\pi x)dx=0$$ である。

最後に$${\int }_{-1}^1(x^2-{\displaystyle \frac{1}{3}})\cos (\pi x)dx={\int }_{-1}^1{x}^2\cos (\pi x)dx$$である。部分積分により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-1}^1{x}^2\cos (\pi x)dx}& {\displaystyle =2{\int }_0^1{x}^2\cos (\pi x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{[{\displaystyle \frac{x^2\sin (\pi x)}{\pi }}+{\displaystyle \frac{2x\cos (\pi x)}{{\pi }^2}}-{\displaystyle \frac{2\sin (\pi x)}{{\pi }^3}}]}_0^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{4}{{\pi }^2}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $0,0,-{\displaystyle \frac{4}{{\pi }^2}}$ である。

(4) $C(x)=\cos (\pi x)$ と書く。$f_0,f_1,f_2$ は互いに直交しているので、二乗を展開すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^{1}C(x{)}^{2}dx-2\sum _{j=0}^2{k}_j{\int }_{-1}^{1}C(x)f_j(x)dx+\sum _{j=0}^2{k}_j^2{\int }_{-1}^1{f}_j(x{)}^{2}dx\mathrm{.}}\end{array}$$したがって各 $k_j$ は独立に決まり、最小にする値は $$k_j={\displaystyle \frac{{\int }_{-1}^{1}C(x)f_j(x)dx}{{\int }_{-1}^1{f}_j(x{)}^{2}dx}}$$ である。

(2) (3)より$$k_0=0,k_1=0,k_2={\displaystyle \frac{-4\mathrm{/}{\pi }^2}{8\mathrm{/}45}}=-{\displaystyle \frac{45}{2{\pi }^2}}$$である。

また $${\int }_{-1}^1{\cos }^2(\pi x)dx={\int }_{-1}^1{\displaystyle \frac{1+\cos (2\pi x)}{2}}dx=1$$ である。最小値は $$1-{\displaystyle \frac{{(-4\mathrm{/}{\pi }^2)}^2}{8\mathrm{/}45}}=1-{\displaystyle \frac{90}{{\pi }^4}}$$ である。

よって $$k_0=0,k_1=0,k_2=-{\displaystyle \frac{45}{2{\pi }^2}}$$ であり、$$I_{\min }=1-{\displaystyle \frac{90}{{\pi }^4}}$$ である。

積分を内積とみなし、$f_0,f_1,f_2$ を
直交基底として扱う。
$\cos (\pi x)$ の各方向への射影係数を求め、
残差の長さをピタゴラスの定理で計算する。

内積を$$⟨u,v⟩={\int }_{-1}^{1}u(x)v(x)dx$$と書く。

(1) $$⟨f_0,f_1⟩=0$$ より $a=0$。
ついで $f_1=x$ と $f_2=x^2+bx+c$ の直交性から $b=0$、
$f_0$ と $f_2$ の直交性から $c=-1\mathrm{/}3$ である。よって$$f_0=1,f_1=x,f_2=x^2-{\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$(2)

直接積分して$$\mathrm{\parallel }{f}_0{\mathrm{\parallel }}^2=2,\mathrm{\parallel }{f}_1{\mathrm{\parallel }}^2={\displaystyle \frac{2}{3}},\mathrm{\parallel }{f}_2{\mathrm{\parallel }}^2={\displaystyle \frac{8}{45}}\mathrm{.}$$(3)

偶奇性と部分積分から$$⟨\cos (\pi x),f_0⟩=0,⟨\cos (\pi x),f_1⟩=0,$$$$⟨\cos (\pi x),f_2⟩=2{\int }_0^1{x}^2\cos (\pi x)dx=-{\displaystyle \frac{4}{{\pi }^2}}\mathrm{.}$$(4)

直交射影の係数は$$k_j={\displaystyle \frac{⟨\cos (\pi x),f_j⟩}{\mathrm{\parallel }{f}_j{\mathrm{\parallel }}^2}}\mathrm{.}$$したがって$$k_0=0,k_1=0,k_2=-{\displaystyle \frac{45}{2{\pi }^2}}\mathrm{.}$$また$$\mathrm{\parallel }\cos (\pi x){\mathrm{\parallel }}^2=1.$$射影と残差は直交するので、ピタゴラスの定理から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I_{\min }}& {\displaystyle =\mathrm{\parallel }\cos (\pi x){\mathrm{\parallel }}^2-\sum _{j=0}^2{\displaystyle \frac{⟨\cos (\pi x),f_j{⟩}^2}{\mathrm{\parallel }{f}_j{\mathrm{\parallel }}^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-{\displaystyle \frac{(4\mathrm{/}{\pi }^2{)}^2}{8\mathrm{/}45}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-{\displaystyle \frac{90}{{\pi }^4}}\mathrm{.}}\end{array}$$