名古屋大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)

$C$の導関数は$y^{\mathrm{\prime }}=x$であるから，点$P$における傾きは$t$である。よって$$y-{\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^2=t(x-t)$$より$$l:y=tx-{\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^2$$である。

(2)

$D$上の接点の$x$座標を$s$とする。$D$の導関数は$$y^{\mathrm{\prime }}=-2(x-a)$$であるから，傾きが$t$となる条件は$$-2(s-a)=t,s=a-{\displaystyle \frac{t}{2}}\mathrm{.}$$接点は${\displaystyle (a-{\displaystyle \frac{t}{2}},-{\displaystyle \frac{t^2}{4}})}$であり，この点での$D$の接線は$$y=tx-at+{\displaystyle \frac{1}{4}}{t}^2\mathrm{.}$$これが(1)の接線と一致するには切片が等しければよい。したがって$$-{\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^2=-at+{\displaystyle \frac{1}{4}}{t}^2,$$$$t(3t-4a)=0.$$よって$$t=0,t={\displaystyle \frac{4a}{3}}\mathrm{.}$$したがって2本の共通接線は$$l_1:y=0,l_2:y={\displaystyle \frac{4a}{3}}x-{\displaystyle \frac{8a^2}{9}}\mathrm{.}$$(3)

$l_1,l_2$の交点の$x$座標は$2a\mathrm{/}3$であり，$l_2$と$C$の接点の$x$座標は$4a\mathrm{/}3$である。求める面積を$S$とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^{2a\mathrm{/}3}{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_{2a\mathrm{/}3}^{4a\mathrm{/}3}\{{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-({\displaystyle \frac{4a}{3}}x-{\displaystyle \frac{8a^2}{9}})\}dx\mathrm{.}}\end{array}$$第2積分の被積分関数は$${\displaystyle \frac{1}{2}}{(x-{\displaystyle \frac{4a}{3}})}^2$$であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\left[{\displaystyle \frac{x^3}{6}}\right]}_0^{2a\mathrm{/}3}+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\left[{\displaystyle \frac{(x-4a\mathrm{/}3{)}^3}{3}}\right]}_{2a\mathrm{/}3}^{4a\mathrm{/}3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4a^3}{81}}+{\displaystyle \frac{4a^3}{81}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{8a^3}{81}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって求める面積は${\displaystyle {\displaystyle \frac{8a^3}{81}}}$である。

図は$a=1$の場合。面積は2直線の交点で積分区間を分ける。

(1) の接線と$D$を連立し，$x$についての二次方程式が重解をもつ条件を判別式$0$で求める。これは接点を別に置かずに済む方法である。(3)は境界の上下関係を図で確認してから同じ区間分割を行う。

(1)

$C:y=x^2\mathrm{/}2$を微分すると$y^{\mathrm{\prime }}=x$である。したがって$$l:y=tx-{\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^2\mathrm{.}$$(2)

$l$と$D$を連立すると$$tx-{\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^2=-(x-a{)}^2,$$すなわち$$x^2+(t-2a)x+a^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^2=0.$$$l$が$D$に接するための必要十分条件は，この二次方程式の判別式が$0$となることである。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 0}& {\displaystyle =(t-2a{)}^2-4(a^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3t^2-4at}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =t(3t-4a)\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$t=0,t={\displaystyle \frac{4a}{3}},$$ゆえに$$l_1:y=0,l_2:y={\displaystyle \frac{4a}{3}}x-{\displaystyle \frac{8a^2}{9}}\mathrm{.}$$(3)

$l_1,l_2$の交点は$${\displaystyle x=2a\mathrm{/}3}$$，$C$と$l_2$の接点は$${\displaystyle x=4a\mathrm{/}3}$$である。また$${\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-l_2(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{(x-{\displaystyle \frac{4a}{3}})}^2\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^{2a\mathrm{/}3}{\displaystyle \frac{x^2}{2}}dx+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_{2a\mathrm{/}3}^{4a\mathrm{/}3}{(x-{\displaystyle \frac{4a}{3}})}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4a^3}{81}}+{\displaystyle \frac{4a^3}{81}}={\displaystyle \frac{8a^3}{81}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって求める面積は${\displaystyle {\displaystyle \frac{8a^3}{81}}}$である。