名古屋大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験 確率・数列文系数学 第3問(b)

(1)

1回後から順に遷移を計算すると$$\begin{array}{c}{\displaystyle p_1(1)=p_1(2)={\displaystyle \frac{1}{2}},}\\ {\displaystyle p_2(1)=p_2(2)=p_2(3)={\displaystyle \frac{1}{3}},}\\ {\displaystyle p_3(1)=p_3(2)=p_3(3)=p_3(4)={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$p_3(m)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{4}}& (m=1,2,3,4),\\ 0& (\text{それ以外})\mathrm{.}\end{array}$$(2)

$N$回後の全体の玉数は$N+2$個である。次の操作後に赤玉が$m$個となるのは，$$\begin{array}{ll}\text{直前も赤玉が }m\text{ 個で，白を引く},& \text{確率 }{\displaystyle \frac{N+2-m}{N+2}},\\ \text{直前は赤玉が }m-1\text{ 個で，赤を引く},& \text{確率 }{\displaystyle \frac{m-1}{N+2}}\end{array}$$の2場合である。したがって$$\begin{array}{cccc}& p_{N+1}(m)={\displaystyle \frac{N+2-m}{N+2}}{p}_N(m)+{\displaystyle \frac{m-1}{N+2}}{p}_N(m-1)\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$ただし範囲外の確率は$0$とする。$$\begin{array}{cccc}& p_N(m)={\displaystyle \frac{1}{N+1}}(1\leqq m\leqq N+1)& & \text{(2)}\end{array}$$を数学的帰納法で示す。$N=1$ではすでに確認した。

$N=k$で(2)が成り立つと仮定する。$2\leqq m\leqq k+1$では(1)より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_{k+1}(m)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{k+2-m}{k+2}}{\displaystyle \frac{1}{k+1}}+{\displaystyle \frac{m-1}{k+2}}{\displaystyle \frac{1}{k+1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{k+2}}\mathrm{.}}\end{array}$$端点についても$$p_{k+1}(1)=p_{k+1}(k+2)={\displaystyle \frac{1}{k+2}}\mathrm{.}$$よって$N=k+1$でも(2)が成り立つ。

以上から$$p_N(m)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{N+1}}& (1\leqq m\leqq N+1),\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$である。

各段で取り得る赤玉数に確率が一様に分かれる。

$N$回中に赤を引く回数を$k=m-1$とする。赤・白の出る順序を一つ固定すると，赤を引いたときの分子は順に$1,2,\dots ,k$，白も同様に$1,2,\dots ,N-k$となるため，確率は順序によらない。固定順序の確率と順序数${}_N{\mathrm{C}}_k$を掛ける。

(1)

$N=3$として以下の一般式を用いると$$p_3(m)={\displaystyle \frac{1}{4}}(1\leqq m\leqq 4)\mathrm{.}$$したがって$m=1,2,3,4$でいずれも$1\mathrm{/}4$，それ以外では$0$である。

(2)

$N$回のうち赤が引かれる回数を$$k=m-1$$とする。赤が$k$回，白が$N-k$回出る順序を一つ固定する。

赤が引かれるたび，分子に現れる赤玉数は順に$$1,2,\dots ,k$$となる。白についても$$1,2,\dots ,N-k$$となる。一方，各回の直前の全玉数は$$2,3,\dots ,N+1$$である。したがって，固定した一つの順序が起こる確率は$${\displaystyle \frac{k!(N-k)!}{2\cdot 3\cdots (N+1)}}={\displaystyle \frac{k!(N-k)!}{(N+1)!}}\mathrm{.}$$これは赤白の並び方によらない。赤が出る位置の選び方は${}_N{\mathrm{C}}_k$通りだから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_N(k+1)}& {\displaystyle ={}_N{\mathrm{C}}_k{\displaystyle \frac{k!(N-k)!}{(N+1)!}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{N+1}}\mathrm{.}}\end{array}$$$k=m-1$より$$p_N(m)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{N+1}}& (1\leqq m\leqq N+1),\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$を得る。