名古屋大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) 直線 $AB$ の傾きは $2$ であるから，$AB$ 方向の単位ベクトルとして $\frac{1}{\sqrt{5}}(1,2)$ をとることができる。$AB=2\sqrt{5}a$ なので，中心から辺 $AB$ の端点へ向かう半分のベクトルは $$\sqrt{5}a\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}(1,2)=(a,2a)$$ である。

また，これに垂直な方向のうち，長さ $2\sqrt{5}b$ の半分に対応するベクトルとして $(-2b,b)$ をとる。これは $(1,2)\cdot (-2,1)=0$ であり，長さも $\sqrt{5}b$ である。

中心が原点 $O$ であるから，4頂点は2つの半ベクトルの和・差で表される。条件 (c) より $A$ の $y$ 座標が最大になるように符号を選ぶと，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A}& {\displaystyle =(a,2a)+(-2b,b)=(a-2b,2a+b),}\\ {\displaystyle B}& {\displaystyle =-(a,2a)+(-2b,b)=(-a-2b,-2a+b),}\\ {\displaystyle C}& {\displaystyle =-(a,2a)-(-2b,b)=(-a+2b,-2a-b),}\\ {\displaystyle D}& {\displaystyle =(a,2a)-(-2b,b)=(a+2b,2a-b)\mathrm{.}}\end{array}$$実際，$a,b>0$ より $$2a+b>2a-b,2a+b>-2a+b,2a+b>-2a-b$$ であるから，$A$ の $y$ 座標が最も大きい。

(2) 円 $x^2+(y-5{)}^2\le 100$ の中心を $S=(0,5)$ とする。円板は凸集合であり，長方形は4頂点の凸包である。したがって，長方形全体が円板に含まれることは，4頂点すべてが円板に含まれることと同値である。

各頂点から $S$ までの距離の2乗を比べる。計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S{A}^2}& {\displaystyle =(a-2b{)}^2+(2a+b-5{)}^2=5(a^2-4a+b^2-2b+5),}\\ {\displaystyle S{B}^2}& {\displaystyle =(-a-2b{)}^2+(-2a+b-5{)}^2=5(a^2+4a+b^2-2b+5),}\\ {\displaystyle S{C}^2}& {\displaystyle =(-a+2b{)}^2+(-2a-b-5{)}^2=5(a^2+4a+b^2+2b+5),}\\ {\displaystyle S{D}^2}& {\displaystyle =(a+2b{)}^2+(2a-b-5{)}^2=5(a^2-4a+b^2+2b+5)\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $$S{C}^2-S{A}^2=20(2a+b)>0,S{C}^2-S{B}^2=20b>0,S{C}^2-S{D}^2=40a>0$$ なので，4頂点のうち円の中心 $S$ から最も遠いのは $C$ である。

よって必要十分条件は $S{C}^2\le 100$ である。すなわち $$5(a^2+4a+b^2+2b+5)\le 100$$ であり，両辺を $5$ で割って平方完成すると $a^2+4a+b^2+2b+5\le 20$ $(a+2{)}^2+(b+1{)}^2\le 20$ を得る。

したがって求める条件は $${\displaystyle a>0,b>0,(a+2{)}^2+(b+1{)}^2\le 20}$$ である。

$ab$ 平面上の条件領域

青い領域。円弧は含み、$a=0$ と $b=0$ は含まない。