名古屋大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)

円の中心は $Q=(b,1)$ であり，$Q$から$x$軸に下ろした垂線の足は $R=(b,0)$ である。円の半径は1なので$QP=1$である。$\mathrm{\angle }PQR={120}^{\circ }$で，$QR$は鉛直下向きの長さ1のベクトルであるから，$P-Q=(p-b,q-1)$について $$q-1={\displaystyle \frac{1}{2}},\mathrm{\mid }p-b\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ となる。ここで$0<p<b$より$p-b<0$だから $$p-b=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ である。したがって $$q={\displaystyle \frac{3}{2}},b=p+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ である。

点$P$は放物線$y=a{x}^2$上にあるので $a{p}^2={\displaystyle \frac{3}{2}}$ である。また放物線の接線の傾きは $y^{\mathrm{\prime }}=2ax$ より，点$P$では$2ap$である。一方，円 $(x-b{)}^2+(y-1{)}^2=1$ を微分すると $2(x-b)+2(y-1)y^{\mathrm{\prime }}=0$ なので，点$P$での接線の傾きは $$y^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{p-b}{q-1}}=-{\displaystyle \frac{-\sqrt{3}\mathrm{/}2}{1\mathrm{/}2}}=\sqrt{3}$$ である。接線が一致するから $2ap=\sqrt{3}$ である。 $a{p}^2=3\mathrm{/}2$と$2ap=\sqrt{3}$を割り合わせると $$p={\displaystyle \frac{a{p}^2}{ap}}={\displaystyle \frac{3\mathrm{/}2}{\sqrt{3}\mathrm{/}2}}=\sqrt{3}$$ である。よって$$a={\displaystyle \frac{3\mathrm{/}2}{p^2}}={\displaystyle \frac{1}{2}},b=p+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}$$となる。したがって $$a={\displaystyle \frac{1}{2}},b={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}$$ である。

(2) $O=(0,0)$とする。求める部分は，三角形$OPR$から，弦$OP$と放物線の間の部分，および弦$PR$と短い方の円弧の間の部分を取り除いたものである。

まず$$P=(\sqrt{3},{\displaystyle \frac{3}{2}}),R=({\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}},0)$$であるから，三角形$OPR$の面積は，底辺を$OR$と見て $${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{9\sqrt{3}}{8}}$$ である。

次に，直線$OP$の傾きは $${\displaystyle \frac{3\mathrm{/}2}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ なので，直線$OP$は $$y={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}x$$ である。弦$OP$と放物線$y=x^2\mathrm{/}2$の間の面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{3}}({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2)dx}& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{6}}{x}^3]}_0^{\sqrt{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}}\end{array}$$である。

また，$QP=QR=1$，$$\mathrm{\angle }PQR={120}^{\circ }=2\pi \mathrm{/}3$$である。したがって扇形$QPR$の面積は $${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 1^2\cdot {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$ であり，三角形$QPR$の面積は $${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 1\cdot 1\cdot \sin {120}^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}$$ である。よって弦$PR$と短い方の弧で囲まれる部分の面積は ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}$ である。

以上より求める面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {\displaystyle \frac{9\sqrt{3}}{8}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}-({\displaystyle \frac{\pi }{3}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{9\sqrt{3}}{8}}-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}}\end{array}$$である。

面積を構成する放物線と円弧

青い領域の境界は、放物線 $OP$、短い円弧 $PR$、$x$ 軸である。