名古屋大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

$f(x)$ のグラフは，$x<0$ で $y=0$，$x\ge 0$ で $y=1$ である。

(1) 直線 $y=ax+b$ との交点を数える。

左側 $x<0$ では $ax+b=0$ を満たす $x$ が $x<0$ にある必要がある。$a=0$ なら左側で交点が存在しないか無数になるので，ちょうど2点にはならない。したがって $a\mathrm{\ne }0$ として $$x=-\frac{b}{a}<0$$ が必要である。

右側 $x\ge 0$ では $ax+b=1$ を満たす $x$ が $x\ge 0$ にある必要がある。すなわち $$x=\frac{1-b}{a}\ge 0$$ である。

よって $$-\frac{b}{a}<0,\frac{1-b}{a}\ge 0$$ を同時に満たせばよい。これを整理する。 $a>0$ のとき，前者から $b>0$，後者から $1-b\ge 0$，つまり $b\le 1$ を得る。 $a<0$ のとき，前者から $b<0$，後者から $1-b\le 0$，つまり $b\ge 1$ となり矛盾する。

したがって求める条件は $${\displaystyle a>0,0<b\le 1}$$ である。なお $b=1$ のとき，右側の交点は $x=0$ であり，$f(0)=1$ なので正しく1点として数えられる。

(2) 3次関数を $$g(x)=x^3+6p{x}^2+9p^{2}x+q=x(x+3p{)}^2+q$$ とおく。ここで $G(x)=x(x+3p{)}^2$ とおくと，$p>0$ より $$G^{\mathrm{\prime }}(x)=(x+3p)(3x+3p)=3(x+p)(x+3p)$$ である。したがって $G(x)$ は$$(-\mathrm{\infty },-3p)\text{で増加},(-3p,-p)\text{で減少},(-p,\mathrm{\infty })\text{で増加}$$し，$$G(-3p)=0,G(-p)=-4p^3,G(0)=0$$ である。 $x<0$ での交点は $g(x)=0$ すなわち $G(x)=-q$ の負の解の個数で決まる。$G(x)$ の負の範囲での増減と値を見ると，負の解が3個存在するための条件は，水平線 $y=-q$ が $-4p^3<-q<0$ を満たすことである。つまり $0<q<4p^3$ である。端点 $q=0$ では $x=-3p,0$ が絡んで負の解が3個にならず，$q=4p^3$ では $x=-p$ で接するため，いずれも除かれる。

次に $x\ge 0$ での交点は $g(x)=1$ すなわち $G(x)=1-q$ の非負解の個数で決まる。$x\ge 0$ では $G^{\mathrm{\prime }}(x)=3(x+p)(x+3p)>0$ なので $G(x)$ は $0$ から単調に増加する。したがって非負解が1個存在する条件は $1-q\ge 0$ すなわち $q\le 1$ である。$q=1$ のとき解は $x=0$ であり，$f(0)=1$ だから交点として数える。

ちょうど4個の交点をもつためには，左側で3個，右側で1個であればよい。よって $${\displaystyle 0<q\le 1,q<4p^3}$$ である。$p>0$ は問題の条件である。

$pq$ 平面上の条件領域

青い領域。$q=1$ は含み、$q=0$ と $q=4p^3$ は含まない。