名古屋大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $P(x,y)$ とおく。条件 $OP:AP=1:a$ は $AP=aOP$ である。両辺を2乗すると $$(x-1{)}^2+y^2=a^2(x^2+y^2)$$ である。整理して $(1-a^2)(x^2+y^2)-2x+1=0$ を得る。 $a=1$ のとき、この式は $-2x+1=0$ となる。したがって軌跡は $x=\frac{1}{2}$ である。 $a\mathrm{\ne }1$ のときは $$x^2+y^2+\frac{2x}{a^2-1}-\frac{1}{a^2-1}=0$$ となる。平方完成して $${(x+\frac{1}{a^2-1})}^2+y^2=\frac{a^2}{(a^2-1{)}^2}$$ である。よって軌跡は$$\text{中心 }(-\frac{1}{a^2-1},0),\text{ 半径 }\frac{a}{\mathrm{\mid }{a}^2-1\mathrm{\mid }}\text{ の円}$$である。

(2) $u=O{P}^2=x^2+y^2$ とおく。条件は $AP=aOP,BP=bOP$ であるから $$(x-1{)}^2+y^2=a^{2}u,x^2+(y-1{)}^2=b^{2}u$$ である。これらを整理すると $$2x-1=(1-a^2)u,2y-1=(1-b^2)u$$ である。したがって $$x=\frac{1+(1-a^2)u}{2},y=\frac{1+(1-b^2)u}{2}$$ である。

これを $x^2+y^2=u$ に代入すると $$\{(1-a^2{)}^2+(1-b^2{)}^2\}{u}^2-2(a^2+b^2)u+2=0$$ を得る。この方程式が正の実数解をもつことが、点 $P$ が存在するための条件である。なお $a=b=1$ のときは2次の係数が0になり、式は $-4u+2=0$ となって正の解 $u=1\mathrm{/}2$ をもつ。以下ではこの場合も含めて条件を整理する。

判別式を整理すると $(a^2+b^2{)}^2-2\{(1-a^2{)}^2+(1-b^2{)}^2\}\geqq 0$ であり、左辺は $\{(a+b{)}^2-2\}\{2-(a-b{)}^2\}$ と因数分解できる。$a>0,b>0$ であるから、正の解の存在条件は $(a+b{)}^2\geqq 2,(a-b{)}^2\leqq 2$ である。すなわち $$\mathrm{\mid }a-b\mathrm{\mid }\leqq \sqrt{2}\leqq a+b$$ である。 $ab$ 平面では第1象限 $a>0,b>0$ の中で、直線 $a+b=\sqrt{2}$ の上側、かつ2直線 $a-b=\sqrt{2}$、$b-a=\sqrt{2}$ にはさまれる領域である。境界は条件を満たすので含む。

理系版の存在領域は、第1象限で3直線$$a+b=\sqrt{2},a-b=\sqrt{2},b-a=\sqrt{2}$$ に囲まれる次の部分である。
3本の斜辺は含むが、座標軸上の点は含まない。