名古屋大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
直線 $l$ は、点 $(0,1)$ を通り傾きが $h$ であるから $y=hx+1$ すなわち $hx-y+1=0$ である。

点 $P(a,b)$ から直線 $l$ へ下ろした垂線の足を $M$ とする。直線 $hx-y+1=0$ の法線方向のベクトルは $(h,-1)$ であるから、実数 $\lambda$ を用いて $$M=(a,b)-\lambda (h,-1)=(a-\lambda h,b+\lambda )$$ と書ける。$M$ が直線 $l$ 上にある条件は $$h(a-\lambda h)-(b+\lambda )+1=0$$ であり、これより $$\lambda =\frac{ha-b+1}{h^2+1}$$ を得る。 $P$ と対称な点 $Q(s,t)$ については、$M$ が $PQ$ の中点である。したがって $Q=2M-P=P-2\lambda (h,-1)$ である。よって$$s=a-\frac{2h(ha-b+1)}{h^2+1},t=b+\frac{2(ha-b+1)}{h^2+1}$$である。

(2)
原点 $O(0,0)$ の対称点を $A$ とする。(1)で $a=b=0$ とおくと $$A=(-\frac{2h}{h^2+1},\frac{2}{h^2+1})$$ である。したがって$$O{A}^2={(-\frac{2h}{h^2+1})}^2+{\left(\frac{2}{h^2+1}\right)}^2=\frac{4(h^2+1)}{(h^2+1{)}^2}=\frac{4}{h^2+1}$$であり、$$OA=\frac{2}{\sqrt{h^2+1}}$$ である。 $-1\leqq h\leqq 1$ では $h^2$ は $0\leqq h^2\leqq 1$ を動く。したがって $h^2+1$ が最小となる $h=0$ で $OA$ は最大、$h^2+1$ が最大となる $h=\pm 1$ で $OA$ は最小である。よって $$O{A}_{\max }=2,O{A}_{\min }=\sqrt{2}$$ である。

(3) $A=(x,y)$ とおく。(2)より $$x=-\frac{2h}{h^2+1},y=\frac{2}{h^2+1}$$ である。すると $$y-1=\frac{2}{h^2+1}-1=\frac{1-h^2}{h^2+1}$$ であり、$$x^2+(y-1{)}^2=\frac{4h^2+(1-h^2{)}^2}{(h^2+1{)}^2}=1$$ となる。したがって $A$ は中心 $(0,1)$、半径1の円上にある。

さらに $-1\leqq h\leqq 1$ では $$y=\frac{2}{h^2+1}\geqq 1$$ である。端点は$$h=-1\Rightarrow A=(1,1),h=0\Rightarrow A=(0,2),h=1\Rightarrow A=(-1,1)$$であるから、軌跡 $C$ は円 $x^2+(y-1{)}^2=1$ の上半分である。

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軌跡と直線 $y=1$ の位置関係は次のようになる。

したがって $C$ と直線 $y=1$ で囲まれる図形は半径1の半円であり、その面積は $\frac{\pi }{2}$ である。

直線上の定点を $F=(0,1)$、法線ベクトルを $\mathit{n}=(h,-1)$ とする。点から直線への法線成分だけを符号反転すれば、一般点の対称点をベクトルで求められる。(2)では反射によって $OA$ が原点から直線までの距離の2倍になることを用いる。(3)では直線上の定点 $F$ が反射で動かないため $FA=FO=1$ となることと、傾きの範囲から上半円全体を動くことを示す。

(1)
直線 $l$ 上の定点を $F=(0,1)$ とし、法線ベクトルを$$\mathit{n}=(h,-1)$$とする。点 $P=(a,b)$ についてである。

直線に関する反射では、$l$ に平行な成分は変わらず、法線成分だけが符号反転する。したがってここで だから、成分を比較して$$s=a-\frac{2h(ha-b+1)}{h^2+1},t=b+\frac{2(ha-b+1)}{h^2+1}$$を得る。

(2)
原点から $l$ までの距離を $d$ とする。原点とその対称点 $A$ を結ぶ線分の中点が垂線の足になるので$$OA=2d\mathrm{.}$$直線 $l$ は $hx-y+1=0$ であるから$$d=\frac{1}{\sqrt{h^2+1}},OA=\frac{2}{\sqrt{h^2+1}}\mathrm{.}$$$-1\leqq h\leqq 1$ より、最大値は $h=0$ のとき $2$、最小値は
$h=\pm 1$ のとき $\sqrt{2}$ である。

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(3)
$F=(0,1)$ は反射軸 $l$ 上にあるので、反射しても動かない。また反射は距離を保つから$$FA=FO=1.$$よって $A$ は中心 $F$、半径1の円上にある。

さらに $h=\tan \theta$ とおくと$$-\frac{\pi }{4}\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{4}$$であり、(1)に $a=b=0$ を代入して$$\overrightarrow{FA}=(-\frac{2h}{1+h^2},\frac{1-h^2}{1+h^2})=(-\sin 2\theta ,\cos 2\theta )$$を得る。したがって $\theta$ が上の区間を動くと、$A$ は
$(1,1)$ から $(0,2)$ を通って $(-1,1)$ まで、上半円全体を1度だけ動く。

ゆえに $C$ と $y=1$ で囲まれる部分は半径1の半円で、その面積は$$\frac{\pi }{2}$$である。