名古屋大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)

接点$B(s,t)$で考える。双曲線 $$x^2-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$$ を微分すると $$2x-{\displaystyle \frac{2y}{b^2}}{y}^{\mathrm{\prime }}=0$$ であるから，点$B$における接線の傾きは $$y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{b^{2}s}{t}}$$ である。

一方，円は中心$A(0,a)$，半径$r$なので $x^2+(y-a{)}^2=r^2$ と表せる。これを微分すると $2x+2(y-a)y^{\mathrm{\prime }}=0$ より，点$B$における接線の傾きは $$y^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{s}{t-a}}$$ である。接線が一致するので $${\displaystyle \frac{b^{2}s}{t}}=-{\displaystyle \frac{s}{t-a}}$$ である。$s>0$より$s$を消して $b^2(t-a)=-t$ となる。したがって $$t={\displaystyle \frac{a{b}^2}{b^2+1}}$$ である。

また$B$は双曲線上にあるから $$s^2-{\displaystyle \frac{t^2}{b^2}}=1$$ であり，$$s^2=1+{\displaystyle \frac{t^2}{b^2}}=1+{\displaystyle \frac{a^2{b}^2}{(b^2+1{)}^2}}$$ となる。$s>0$なので $$s=\sqrt{1+{\displaystyle \frac{a^2{b}^2}{(b^2+1{)}^2}}}$$ である。

さらに$r=AB$であるから $r^2=s^2+(t-a{)}^2$ である。ここで $$t-a={\displaystyle \frac{a{b}^2}{b^2+1}}-a=-{\displaystyle \frac{a}{b^2+1}}$$ なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle r^2}& {\displaystyle =1+{\displaystyle \frac{a^2{b}^2}{(b^2+1{)}^2}}+{\displaystyle \frac{a^2}{(b^2+1{)}^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1+{\displaystyle \frac{a^2}{b^2+1}}}\end{array}$$である。よって $$r=\sqrt{1+{\displaystyle \frac{a^2}{b^2+1}}}$$ である。

(2)

点$B(s,t)$と$C(-s,t)$は$y$軸に関して対称であり，円の中心$A(0,a)$も$y$軸上にある。したがって $AB=AC=r,BC=2s$ である。よって$\mathrm{△}ABC$が正三角形となる条件は $r=2s$ である。

(1) の式を代入して両辺を2乗すると $$1+{\displaystyle \frac{a^2}{b^2+1}}=4(1+{\displaystyle \frac{a^2{b}^2}{(b^2+1{)}^2}})$$ である。両辺に$(b^2+1{)}^2$を掛けると $$(b^2+1{)}^2+a^2(b^2+1)=4(b^2+1{)}^2+4a^2{b}^2$$ である。整理して $a^2(1-3b^2)=3(b^2+1{)}^2$ を得る。

右辺は常に正であり，$a>0$が存在するためには左辺の係数 $1-3b^2$ が正でなければならない。逆に$1-3b^2>0$なら $$a^2={\displaystyle \frac{3(b^2+1{)}^2}{1-3b^2}}>0$$ と定めれば条件を満たす$a>0$が存在し，そのとき(1)で$r>0$も定まる。したがって必要十分条件は $1-3b^2>0$ である。$b>0$も合わせて $0<b<{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$ である。

円と双曲線の接点

接点配置の模式図。対称性から $AB=AC=r$、$BC=2s$ となる。