名大 2011年度文系数学第3問｜問題・解答・解説

方針

$P (x, y)$ とおき、距離比を2乗して方程式に直す。(1) は $(x - 1)^{2} + y^{2} = a^{2} (x^{2} + y^{2})$ を整理し、 $a = 1$ の直線の場合と $a \neq 1$ の円の場合を分ける。(2) は $u = O P^{2} = x^{2} + y^{2}$ とおき、 $A P = a O P$ 、 $B P = b O P$ から $x, y$ を $u$ で表す。これを $x^{2} + y^{2} = u$ に代入して $u$ の2次方程式を得る。正の解が存在する条件を判別式で整理すると、 $(a + b)^{2} ≧ 2$ と $(a - b)^{2} ≦ 2$ が出る。文系版では $a > 1 > b > 0$ の範囲にこの条件を重ねて図示する。

解答

(1) $P (x, y)$ とおく。条件 $O P : A P = 1 : a$ は $A P = a O P$ と同値である。両辺を2乗すると $(x - 1)^{2} + y^{2} = a^{2} (x^{2} + y^{2})$ である。整理して $(1 - a^{2}) (x^{2} + y^{2}) - 2 x + 1 = 0$ を得る。 $a = 1$ のときは $- 2 x + 1 = 0$ だから、軌跡は $x = \frac{1}{2}$ である。これは線分 $O A$ の垂直二等分線である。 $a \neq 1$ のときは、上の式を $1 - a^{2}$ で割って平方完成する。すなわち $x^{2} + y^{2} + \frac{2 x}{a^{2} - 1} - \frac{1}{a^{2} - 1} = 0$ であり、 ${(x + \frac{1}{a^{2} - 1})}^{2} + y^{2} = \frac{1}{(a^{2} - 1)^{2}} + \frac{1}{a^{2} - 1} = \frac{a^{2}}{(a^{2} - 1)^{2}}$ となる。したがって軌跡は $中心 (- \frac{1}{a^{2} - 1}, 0), 半径 \frac{a}{∣ a^{2} - 1 ∣} の円$ である。

(2) $u = O P^{2} = x^{2} + y^{2}$ とおく。条件 $O P : A P : B P = 1 : a : b$ は $A P = a O P, B P = b O P$ であるから、2乗して $(x - 1)^{2} + y^{2} = a^{2} u, x^{2} + (y - 1)^{2} = b^{2} u$ となる。これらを整理すると $u - 2 x + 1 = a^{2} u, u - 2 y + 1 = b^{2} u$ である。したがって $2 x - 1 = (1 - a^{2}) u, 2 y - 1 = (1 - b^{2}) u$ であり、 $x = \frac{1 + (1 - a^{2}) u}{2}, y = \frac{1 + (1 - b^{2}) u}{2}$ である。

これを $x^{2} + y^{2} = u$ に代入する。すると ${1 + (1 - a^{2}) u}^{2} + {1 + (1 - b^{2}) u}^{2} = 4 u$ であり、整理して ${(1 - a^{2})^{2} + (1 - b^{2})^{2}} u^{2} - 2 (a^{2} + b^{2}) u + 2 = 0$ を得る。

この2次方程式が正の実数解 $u$ をもてば、対応する $x, y$ が上の式で定まり、条件を満たす点 $P$ が存在する。判別式を調べると $(a^{2} + b^{2})^{2} - 2 {(1 - a^{2})^{2} + (1 - b^{2})^{2}} ≧ 0$ が必要十分である。左辺は ${(a + b)^{2} - 2} {2 - (a - b)^{2}}$ と因数分解できる。

ここで $a > 1 > b > 0$ であるから $a + b > 0$ である。したがって点 $P$ が存在するための条件は $(a + b)^{2} ≧ 2, (a - b)^{2} ≦ 2$ すなわち $a + b ≧ \sqrt{2}, a - b ≦ \sqrt{2}$ である。ただし、問題の仮定 $a > 1, 0 < b < 1$ も合わせて満たす必要がある。 $a b$ 平面では、帯状の範囲 $a > 1, 0 < b < 1$ の中で、直線 $a + b = \sqrt{2}$ の上側、かつ直線 $a - b = \sqrt{2}$ の上側、すなわち $b ≧ \sqrt{2} - a, b ≧ a - \sqrt{2}$ を同時に満たす部分である。境界 $a + b = \sqrt{2}$ 、 $a - b = \sqrt{2}$ は含むが、 $a = 1$ 、 $b = 0$ 、 $b = 1$ は問題の仮定により含まない。

条件を $a b$ 平面に図示すると、次の青色部分になる。太線の斜辺は含み、
点線 $a = 1, b = 1$ と白丸は含まない。

総評

距離比の軌跡と、3点からの距離比を同時に満たす点の存在条件を調べる問題である。目安時間は25分。(1) では $a = 1$ のときだけ円ではなく直線になるため、先に分ける必要がある。(2) は $u = O P^{2}$ を導入して $x, y$ を $u$ で表すのが決定的で、最後の判別式が ${(a + b)^{2} - 2} {2 - (a - b)^{2}}$ に因数分解される。文系版では $a > 1 > b > 0$ の制限があるので、最終条件だけでなく図示する範囲の開閉も確認したい。

出典: 名古屋大学 2011年度前期日程数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

名古屋大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

方針

解答

総評

名古屋大学 2011年度前期日程第2次学力試験文系数学第3問