名古屋大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) 最初，赤球は箱 $A$ に入っている。

1回目の操作では，表なら $A$ と $B$ を入れ替えるので赤球は $B$ に移り，裏なら $B$ と $C$ を入れ替えるので赤球は $A$ に残る。したがって $${\displaystyle a_1=\frac{1}{2},b_1=\frac{1}{2},c_1=0}$$ である。

2回目については，1回目後の状態からもう一度考える。赤球が $A$ にある確率は $1\mathrm{/}2$，$B$ にある確率は $1\mathrm{/}2$ である。赤球が $A$ にあるとき，次に表が出ると $B$ へ移り，裏が出ると $A$ に残る。赤球が $B$ にあるとき，次に表が出ると $A$ へ移り，裏が出ると $C$ へ移る。よって $${\displaystyle a_2=\frac{1}{2},b_2=\frac{1}{4},c_2=\frac{1}{4}}$$ である。

(2) $n$ 回目の操作後に赤球が $A,B,C$ にある確率をそれぞれ $a_n,b_n,c_n$ とする。

次の操作で赤球が $A$ にあるのは，直前に $A$ にあって裏が出る場合，または直前に $B$ にあって表が出る場合である。したがって $$a_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_n+\frac{1}{2}{b}_n\mathrm{.}$$ 同様に，赤球が $B$ にあるのは，直前に $A$ にあって表が出る場合，または直前に $C$ にあって裏が出る場合であるから $$b_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_n+\frac{1}{2}{c}_n\mathrm{.}$$ また，赤球が $C$ にあるのは，直前に $B$ にあって裏が出る場合，または直前に $C$ にあって表が出る場合であるから $$c_{n+1}=\frac{1}{2}{b}_n+\frac{1}{2}{c}_n\mathrm{.}$$ よって$${\displaystyle \begin{array}{rl}{\displaystyle a_{n+1}}& {\displaystyle =\frac{a_n+b_n}{2},}\\ {\displaystyle b_{n+1}}& {\displaystyle =\frac{a_n+c_n}{2},}\\ {\displaystyle c_{n+1}}& {\displaystyle =\frac{b_n+c_n}{2}}\end{array}}$$である。

(3) まず $a_n+b_n+c_n=1$ である。また漸化式の第1式と第3式を引くと$$a_{n+1}-c_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}-\frac{b_n+c_n}{2}=\frac{a_n-c_n}{2}$$である。$a_1-c_1=1\mathrm{/}2$ だから，帰納的に $$a_n-c_n=\frac{1}{2^n}$$ を得る。

次に $$b_{n+1}=\frac{a_n+c_n}{2}=\frac{1-b_n}{2}$$ である。これを $$b_{n+1}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}(b_n-\frac{1}{3})$$ と変形する。$b_1=1\mathrm{/}2$ より $$b_1-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$$ なので$$b_n-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}{(-\frac{1}{2})}^{n-1}=-\frac{1}{3}{(-\frac{1}{2})}^n\mathrm{.}$$したがって $$b_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}{(-\frac{1}{2})}^n$$ である。 $n$ が奇数のとき，$(-1\mathrm{/}2{)}^n<0$ だから $$b_n=\frac{1}{3}+\frac{1}{3\cdot 2^n}\mathrm{.}$$ さらに $d=2^{-n}$ とおくと $$a_n-c_n=d,a_n+b_n+c_n=1,b_n=\frac{1}{3}+\frac{d}{3}$$ である。$c_n=a_n-d$ を和の式に代入すると $2a_n+b_n-d=1$ なので$$a_n=\frac{1-b_n+d}{2}=\frac{1-(\frac{1}{3}+\frac{d}{3})+d}{2}=\frac{1}{3}+\frac{d}{3}=b_n$$である。しかも $d>0$ より $a_n-c_n=d>0$ だから $a_n=b_n>c_n$ である。 $n$ が偶数のとき，$(-1\mathrm{/}2{)}^n>0$ だから $$b_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{3\cdot 2^n}\mathrm{.}$$ このときも $d=2^{-n}$ とおくと $$a_n-c_n=d,a_n+b_n+c_n=1,b_n=\frac{1}{3}-\frac{d}{3}$$ である。$c_n=a_n-d$ を和の式に代入すると $2a_n+b_n-d=1$ より$$a_n=\frac{1-b_n+d}{2}=\frac{1-(\frac{1}{3}-\frac{d}{3})+d}{2}=\frac{1}{3}+\frac{2d}{3}$$となる。したがって $$c_n=a_n-d=\frac{1}{3}-\frac{d}{3}=b_n$$ であり，$d>0$ より $a_n>b_n=c_n$ である。

以上より，奇数回では $${\displaystyle a_n=b_n>c_n}$$ 偶数回では $${\displaystyle a_n>b_n=c_n}$$ が成り立つ。

(4) 上で求めた通り，$${\displaystyle b_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}{(-\frac{1}{2})}^n}$$ である。

赤球の位置の状態遷移

頂点は赤球の現在位置を表す。

赤球の位置確率を3成分の列ベクトルにまとめ、遷移行列の固有方向へ初期状態を分解する。3つの確率の明示式を同時に求め、$n$ の偶奇に応じて $(-1\mathrm{/}2{)}^n$ の符号を代入すれば、大小関係と $b_n$ が直ちに得られる。

(1)
初期状態を$${\mathit{v}}_0=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$とする。1回、2回の遷移を直接行うと$${\mathit{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\mathrm{/}2\\ 1\mathrm{/}2\\ 0\end{array}\right),{\mathit{v}}_2=\left(\begin{array}{c}1\mathrm{/}2\\ 1\mathrm{/}4\\ 1\mathrm{/}4\end{array}\right)\mathrm{.}$$よって$$a_1=b_1=\frac{1}{2},c_1=0,a_2=\frac{1}{2},b_2=c_2=\frac{1}{4}\mathrm{.}$$(2)$${\mathit{v}}_n=(a_n,b_n,c_n{)}^{\mathsf{T}}$$ とおく。状態遷移図から$${\mathit{v}}_{n+1}=T{\mathit{v}}_n,T=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_{n+1}}& {\displaystyle =\frac{a_n+b_n}{2},}\\ {\displaystyle b_{n+1}}& {\displaystyle =\frac{a_n+c_n}{2},}\\ {\displaystyle c_{n+1}}& {\displaystyle =\frac{b_n+c_n}{2}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)$${\mathit{e}}_0=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right),{\mathit{e}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right),{\mathit{e}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right)$$とおくと$$T{\mathit{e}}_0={\mathit{e}}_0,T{\mathit{e}}_1=\frac{1}{2}{\mathit{e}}_1,T{\mathit{e}}_2=-\frac{1}{2}{\mathit{e}}_2\mathrm{.}$$また$${\mathit{v}}_0=\frac{1}{3}{\mathit{e}}_0+\frac{1}{2}{\mathit{e}}_1+\frac{1}{6}{\mathit{e}}_2$$である。よって$${\mathit{v}}_n=\frac{1}{3}{\mathit{e}}_0+\frac{1}{2}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n{\mathit{e}}_1+\frac{1}{6}{(-\frac{1}{2})}^n{\mathit{e}}_2,$$すなわち$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_n}& {\displaystyle =\frac{1}{3}+\frac{1}{6}{(-\frac{1}{2})}^n+\frac{1}{2}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n,}\\ {\displaystyle b_n}& {\displaystyle =\frac{1}{3}-\frac{1}{3}{(-\frac{1}{2})}^n,}\\ {\displaystyle c_n}& {\displaystyle =\frac{1}{3}+\frac{1}{6}{(-\frac{1}{2})}^n-\frac{1}{2}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\mathrm{.}}\end{array}$$$r=2^{-n}>0$ とおく。$n$ が奇数なら$$a_n=b_n=\frac{1}{3}+\frac{r}{3},c_n=\frac{1}{3}-\frac{2r}{3},$$だから $a_n=b_n>c_n$ である。

$n$ が偶数なら$$a_n=\frac{1}{3}+\frac{2r}{3},b_n=c_n=\frac{1}{3}-\frac{r}{3},$$だから $a_n>b_n=c_n$ である。

(4)
上の第2成分から$$b_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}{(-\frac{1}{2})}^n$$である。