名古屋大学 2011年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
2度取り出すとき、取り出される2個の組は全部で ${}_8{\mathrm{C}}_2=28$ 通りである。数字の合計が2になるのは、次の2通りである。

まず、数字2の玉1個と数字0の玉1個を取り出す場合は $1\cdot 4=4$ 通りである。次に、数字1の玉を2個取り出す場合は ${}_3{\mathrm{C}}_2=3$ 通りである。したがって有利な取り出し方は $4+3=7$ 通りであり、求める確率は $\frac{7}{28}=\frac{1}{4}$ である。

(2)
4度取り出すとき、取り出される4個の組は全部で ${}_8{\mathrm{C}}_4=70$ 通りである。数字の合計が4以下でない場合、すなわち5以上になる場合を考える。

袋の中の正の数字は、数字2の玉1個と数字1の玉3個だけである。したがって4個取り出したときの合計の最大値は $2+1+1+1=5$ である。和が5になるには、数字2の玉1個と数字1の玉3個をすべて取り出すしかない。これは1通りである。

よって和が4以下である確率は余事象を用いて $$1-\frac{1}{70}=\frac{69}{70}$$ である。

(3) $n$ 個目までに取り出した数字2の玉の個数を $u$、数字0の玉の個数を $v$、数字1の玉の個数を $w$ とする。このとき $n=u+v+w$ であり、$n$ 個目までの数字の合計は $2u+w$ である。条件は $2u+w\leqq u+v+w$ であるから、これは $u\leqq v$ と同値である。

数字2の玉は1個しかないので、$u$ は0または1である。数字2の玉がまだ出ていない間は $u=0$ であり、条件 $u\leqq v$ は必ず成り立つ。問題になるのは数字2の玉が初めて出た瞬間であり、その時点でそれ以前に数字0の玉が1個も出ていないと、$u=1,v=0$ となって条件が破れる。

したがって条件が満たされることは、数字2の玉1個と数字0の玉4個の計5個の中で、最初に現れるものが数字0の玉であることと同値である。この5個の相対的な順序は等確率であり、最初に現れる玉が数字0である確率は $\frac{4}{5}$ である。よって求める確率は $\frac{4}{5}$ である。

(1) (2) は順序を区別する逐次確率でも確認する。(3) は条件が初めて破れる取り出し方を、数字2の玉の直前に数字1の玉が0個、1個、2個、3個並ぶ4つの互いに重ならない場合へ分け、失敗確率を直接足して余事象をとる。

(1)
和が2になるのは、数字2と数字0を1個ずつ引く場合、または数字1を2個引く場合である。順序も含めると、その確率は$$\frac{1}{8}\frac{4}{7}+\frac{4}{8}\frac{1}{7}+\frac{3}{8}\frac{2}{7}=\frac{1}{7}+\frac{3}{28}=\frac{1}{4}$$である。

(2)
4個の和が4を超えるのは、数字2の玉1個と数字1の玉3個をすべて引く場合だけである。この4個の集合が選ばれる確率は、8個から4個を選ぶ全70通りのうち1通りだから、求める確率は$$1-\frac{1}{70}=\frac{69}{70}$$である。

(3)
条件が破れるのは、数字2の玉を引いた時点で、それまでに数字0の玉を1個も引いていない場合である。数字2の前に現れる数字1の個数は0個から3個までなので、失敗確率は互いに重ならない4場合の和$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \frac{1}{8}+\frac{3}{8}\frac{1}{7}+\frac{3}{8}\frac{2}{7}\frac{1}{6}+\frac{3}{8}\frac{2}{7}\frac{1}{6}\frac{1}{5}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{35+15+5+1}{280}=\frac{1}{5}}\end{array}$$である。したがって条件を満たす確率は$$1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$$となる。