名古屋大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)

2回の出目は順序を区別して $6^2=36$ 通りであり，すべて同様に確からしい。

一の位が0になるには，積が10で割り切れればよい。1から6までの目の中で5の因数をもつのは5だけであり，2の因数をもつのは2,4,6である。したがって，一方が5，他方が2,4,6のいずれかである場合で，順序も考えて $2\cdot 3=6$ 通りである。よって $$p_2(0)={\displaystyle \frac{6}{36}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$$ である。

一の位が1になるには，2回の出目の積の一の位が1になればよいが，1から6まででは $(1,1)$ だけである。よって $p_2(1)={\displaystyle \frac{1}{36}}$ である。

一の位が2になるものを列挙すると $(1,2),(2,1),(2,6),(6,2),(3,4),(4,3)$ の6通りである。したがって $$p_2(2)={\displaystyle \frac{6}{36}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$$ である。

(2) $n$回投げた後の積の一の位を考え，さらに1回投げる。次の出目が1なら，一の位1から一の位1ができる。次の出目が3なら，一の位7から $7\cdot 3=21$ により一の位1ができる。

他の出目については，2,4,5,6はいずれも一の位1を作る前状態をもたない。実際，偶数を掛けると積は偶数になり，5を掛けると一の位は0または5になる。したがって $$p_{n+1}(1)={\displaystyle \frac{1}{6}}\{p_n(1)+p_n(7)\}$$ である。

(3)

一の位が$1,3,7,9$のいずれかであることは，積が2でも5でも割り切れないことと同値である。さいころの目1から6のうち，2でも5でも割り切れないものは $1,3$ だけである。したがって，$n$回すべての出目が1または3であることが必要十分条件である。

各回で1または3が出る確率は$2\mathrm{/}6=1\mathrm{/}3$であり，各回は独立なので $$p_n(1)+p_n(3)+p_n(7)+p_n(9)={\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^n$$ である。