名古屋大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験 確率・場合の数理系数学 第4問(a)（選択）

(1)

2回の出目は順序を区別して36通りである。一の位が0になるには，一方が5，他方が偶数$2,4,6$であればよい。順序を考えると $2\cdot 3=6$ 通りなので $$p_2(0)={\displaystyle \frac{6}{36}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$$ である。

一の位が1になるのは $(1,1)$ だけであるから $p_2(1)={\displaystyle \frac{1}{36}}$ である。

一の位が2になるものは $(1,2),(2,1),(2,6),(6,2),(3,4),(4,3)$ の6通りである。したがって $$p_2(2)={\displaystyle \frac{6}{36}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$$ である。

(2) $n$回後の一の位に，次の出目を掛けて一の位1になる場合を考える。出目が1なら前の一の位が1，出目が3なら前の一の位が7であればよい。出目2,4,5,6では一の位1は作れない。よって $$p_{n+1}(1)={\displaystyle \frac{1}{6}}\{p_n(1)+p_n(7)\}$$ である。

(3)

積の一の位が$1,3,7,9$のいずれかであることは，積が10と互いに素であること，すなわち2でも5でも割り切れないことと同じである。1から6までの出目でこの条件を満たすのは $1,3$ だけである。したがって$n$回すべてで1または3が出ることが必要十分条件であり，$$p_n(1)+p_n(3)+p_n(7)+p_n(9)={\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^n$$ である。

(4)

積の一の位が5になるには，積が5で割り切れ，かつ2では割り切れない必要がある。したがって各回の出目はすべて奇数$1,3,5$であり，そのうち少なくとも1回は5が出なければならない。

すべての出目が奇数である確率は $${\left({\displaystyle \frac{3}{6}}\right)}^n={\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n$$ である。この中で5が一度も出ない場合は，各回の出目が1または3に限られるので，その確率は $${\left({\displaystyle \frac{2}{6}}\right)}^n={\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^n$$ である。よって $$p_n(5)={\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^n$$ である。