名古屋大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

座標を $$O=(0,0,0),P=(1,0,0),Q=(1,1,0),R=(0,1,0),$$ $$A=(0,0,1),B=(1,0,1),C=(1,1,1),D=(0,1,1)$$ とおく。$M$ は $BC$ の中点だから $$M=(1,\frac{1}{2},1)$$ であり，$N$ は $RD$ 上の点なので $$N=(0,1,t)(0\le t\le 1)$$ と表される。

(1) 平面 $OMN$ は原点を通るので，方程式を $$\alpha x+\beta y+\gamma z=0$$ とおく。点 $M,N$ を代入すると $$\alpha +\frac{1}{2}\beta +\gamma =0,\beta +t\gamma =0$$ である。例えば $\gamma =1$ とおくと $\beta =-t$，$$\alpha -\frac{t}{2}+1=0$$ より $$\alpha =\frac{t}{2}-1$$ となる。したがって平面 $OMN$ の方程式は $$(\frac{t}{2}-1)x-ty+z=0$$ である。

点 $K$ は線分 $PD$ 上にある。$P=(1,0,0),D=(0,1,1)$ だから $$K=(1-u,u,u)(0\le u\le 1)$$ とおける。これを平面の方程式に代入すると $$(\frac{t}{2}-1)(1-u)-tu+u=0$$ である。整理して $$(\frac{t}{2}-1)+(2-\frac{3t}{2})u=0$$ となるから $$u=\frac{t-2}{3t-4}\mathrm{.}$$ よって$${\displaystyle K=(\frac{2t-2}{3t-4},\frac{t-2}{3t-4},\frac{t-2}{3t-4})}$$である。$0\le t\le 1$ では $3t-4<0$ であり，この $u$ は $0\le u\le 1$ を満たす。

また，点 $L$ は線分 $PB$ 上にあるから $$L=(1,0,v)(0\le v\le 1)$$ とおける。平面の方程式に代入すると $$(\frac{t}{2}-1)+v=0$$ より $$v=1-\frac{t}{2}$$ である。したがって $$L=(1,0,1-\frac{t}{2})$$ である。

(2) 四面体 $OKLP$ の体積を求める。点 $O,L,P$ はすべて平面 $y=0$ 上にあるので，$\mathrm{△}OLP$ を底面にとる。 $OP=1$ であり，$L=(1,0,1-t\mathrm{/}2)$ だから，底面 $\mathrm{△}OLP$ の面積は$$\frac{1}{2}\cdot OP\cdot (1-\frac{t}{2})=\frac{1}{2}(1-\frac{t}{2})$$である。高さは点 $K$ から平面 $y=0$ までの距離であり，$K$ の $y$ 座標に等しい。したがって $$\text{高さ}=\frac{t-2}{3t-4}=\frac{2-t}{4-3t}$$ である。

よって$$V(t)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}(1-\frac{t}{2})\cdot \frac{2-t}{4-3t}=\frac{(t-2{)}^2}{12(4-3t)}$$である。 $0\le t\le 1$ で最大・最小を調べる。微分すると $$V^{\mathrm{\prime }}(t)=-\frac{(t-2)(3t-2)}{12(3t-4{)}^2}$$ である。区間 $[0,1]$ では $t-2<0$ だから，$V^{\mathrm{\prime }}(t)$ の符号は $3t-2$ の符号と同じである。したがって$$0\le t<\frac{2}{3}\text{で }{V}^{\mathrm{\prime }}(t)<0,\frac{2}{3}<t\le 1\text{で }{V}^{\mathrm{\prime }}(t)>0$$となる。

端点と臨界点での値は$$V(0)=\frac{1}{12},V\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{2}{27},V(1)=\frac{1}{12}$$である。よって $${\displaystyle \text{最大値 }\frac{1}{12}(t=0,1)}$$ $${\displaystyle \text{最小値 }\frac{2}{27}(t=\frac{2}{3})}$$ である。

立方体と切断平面

$K\in PD,L\in PB$。青い三角形は平面 $OMN$ の一部を表す。

平面 $OMN$ と2本の線分を媒介変数で表し、$K,L$ を求める。体積は3本の位置ベクトルの行列式で一度に計算する。最大・最小は微分せず、端点の最大値との差と候補最小値との差を平方の形にして判定する。

(1) $$M=(1,\frac{1}{2},1),N=(0,1,t)$$である。平面 $OMN$ の法線ベクトルは
$\overrightarrow{OM}\times \overrightarrow{ON}$ に平行だから、平面の方程式を整理すると$$(t-2)x-2ty+2z=0$$となる。

$K=P+u(D-P)=(1-u,u,u)$ とおく。平面の方程式へ代入すると$$(t-2)(1-u)-2tu+2u=0$$なので$$u=\frac{2-t}{4-3t}\mathrm{.}$$したがって$$K=(\frac{2(1-t)}{4-3t},\frac{2-t}{4-3t},\frac{2-t}{4-3t})\mathrm{.}$$(2)　
$L=P+v(B-P)=(1,0,v)$ とおくと、平面の方程式から$$v=\frac{2-t}{2}\mathrm{.}$$位置ベクトルを列に並べると$$\det \text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\begin{array}{ccc}1-u& 1& 1\\ u& 0& 0\\ u& v& 0\end{array}\right)=uv$$である。よって四面体の体積は$$V(t)=\frac{1}{6}uv=\frac{(2-t{)}^2}{12(4-3t)}\mathrm{.}$$$0\leqq t\leqq 1$ では $4-3t>0$ である。まず$$\frac{1}{12}-V(t)=\frac{t(1-t)}{12(4-3t)}\geqq 0$$だから$$V(t)\leqq \frac{1}{12},$$等号は $t=0,1$ のときに限る。

一方、$$V(t)-\frac{2}{27}=\frac{(3t-2{)}^2}{108(4-3t)}\geqq 0$$だから$$V(t)\geqq \frac{2}{27},$$等号は $t=2\mathrm{/}3$ のときに限る。

したがって最大値は$$\frac{1}{12}(t=0,1),$$最小値は$$\frac{2}{27}(t=\frac{2}{3})$$である。