名古屋大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $$\overrightarrow{OA}=(1,0,0),\overrightarrow{OB}=(a,b,0)$$ である。条件 $$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}={\displaystyle \frac{1}{3}}$$ より $a={\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。また$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OB}\mathrm{\mid }=1$なので $a^2+b^2=1$ である。これに$a=1\mathrm{/}3$を代入すると $b^2=1-{\displaystyle \frac{1}{9}}={\displaystyle \frac{8}{9}}$ となる。$b$は正の数であるから $$a={\displaystyle \frac{1}{3}},b={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}$$ である。

(2)

点$O,A,B$はいずれも$xy$平面上にある。線分$OA$は$x$軸上にあり，その長さは $OA=1$ である。点$B$の$y$座標は$b=2\sqrt{2}\mathrm{/}3$なので，$B$から$x$軸までの距離は$b$である。したがって三角形$OAB$の面積は$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot OA\cdot b={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 1\cdot {\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}$$である。

(3) $$\overrightarrow{OC}=(x,y,z)$$ とおく。条件 $$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ より $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。また $$\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}={\displaystyle \frac{5}{6}}$$ より $${\displaystyle \frac{1}{3}}x+{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}y={\displaystyle \frac{5}{6}}$$ である。$x=1\mathrm{/}2$を代入して $${\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}y={\displaystyle \frac{5}{6}}$$ だから $${\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}y={\displaystyle \frac{2}{3}},y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$ である。

さらに$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OC}\mathrm{\mid }=1$より $x^2+y^2+z^2=1$ である。したがって $$z^2=1-{\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ であり，点$C$から$xy$平面までの距離は $\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。

四面体$OABC$は，底面を三角形$OAB$と見れば，高さが$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }$である。よって$$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot S\cdot \mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{18}}$$である。

座標を最後まで求めず、内積だけで面積と高さを決める。三角形 $OAB$ の面積は $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ のなす角から求める。点 $C$ から平面 $OAB$ へ下ろした垂線の足を $H$ とし、$\overrightarrow{OH}=\alpha \overrightarrow{OA}+\beta \overrightarrow{OB}$ とおく。$\overrightarrow{CH}$ が平面内の2方向に垂直である条件から$\alpha ,\beta$ を求め、三平方の定理で高さ $CH$ を出す。

(1) $$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=a$$ であるから$$a={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$また、$$\mid \overrightarrow{OB}\mid =1$$ より$$a^2+b^2=1.$$$b>0$ に注意すると$$b=\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{9}}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}\mathrm{.}$$したがって$$a={\displaystyle \frac{1}{3}},b={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}\mathrm{.}$$(2)$$\mid \overrightarrow{OA}\mid =\mid \overrightarrow{OB}\mid =1$$ である。
両ベクトルのなす角を $\theta$ とすると$$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}}{\mid \overrightarrow{OA}\mid \mid \overrightarrow{OB}\mid }}={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$よって$$\sin \theta =\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{9}}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}$$であり、$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid \overrightarrow{OA}\mid \mid \overrightarrow{OB}\mid \sin \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}\mathrm{.}$$(3)　
点 $C$ から平面 $OAB$ へ下ろした垂線の足を $H$ とする。
ある実数 $\alpha ,\beta$ を用いて$$\overrightarrow{OH}=\alpha \overrightarrow{OA}+\beta \overrightarrow{OB}$$と書ける。
$\overrightarrow{CH}$ は平面 $OAB$ に垂直だから$$\overrightarrow{OH}\cdot \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OA}={\displaystyle \frac{1}{2}},$$$$\overrightarrow{OH}\cdot \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OB}={\displaystyle \frac{5}{6}}\mathrm{.}$$したがって$$\alpha +{\displaystyle \frac{1}{3}}\beta ={\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{3}}\alpha +\beta ={\displaystyle \frac{5}{6}}\mathrm{.}$$これを解くと$$\alpha ={\displaystyle \frac{1}{4}},\beta ={\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{.}$$$$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{HC}$$ であり、
$\overrightarrow{OH}\perp \overrightarrow{HC}$ だから$${\mid \overrightarrow{OH}\mid }^2=\overrightarrow{OH}\cdot \overrightarrow{OC}={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{.}$$直角三角形 $OHC$ において $OC=1$ だから$$CH=\sqrt{O{C}^2-O{H}^2}=\sqrt{1-{\displaystyle \frac{3}{4}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$よって$$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot S\cdot CH={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{18}}\mathrm{.}$$