名古屋大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $0\leqq t\leqq 1$ とする。点 $P$ は $O$ から $A$ へ秒速1で進むので $$\overrightarrow{OP}=t\overrightarrow{a}$$ である。

点 $Q$ は $A$ から $B$ へ秒速 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ で進む。辺 $AB$ の長さは1なので，時刻 $t$ では $A$ から ${\displaystyle \frac{t}{2}}$ だけ進んでいる。したがって$$\overrightarrow{OQ}=(1-{\displaystyle \frac{t}{2}})\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{t}{2}}\overrightarrow{b}$$である。

同様に，点 $R$ は $B$ から $C$ へ秒速1で進むので $$\overrightarrow{OR}=(1-t)\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}$$ である。また点 $S$ は $C$ から $O$ へ秒速 ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ で進むので $$\overrightarrow{OS}=(1-{\displaystyle \frac{t}{2}})\overrightarrow{c}$$ である。

(2)

線分 $PR$ と線分 $QS$ が交点 $M$ をもつとする。$M$ が $PR$ 上にあることから，ある実数 $\lambda$ を用いて$$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OP}+\lambda (\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OP})$$と書ける。また $M$ が $QS$ 上にあることから，ある実数 $\mu$ を用いて$$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OQ}+\mu (\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OQ})$$と書ける。線分上の点であるためには $0\leqq \lambda \leqq 1$，$0\leqq \mu \leqq 1$ である。

(1) の式を代入すると，$PR$ 側からは$$\overrightarrow{OM}=t(1-\lambda )\overrightarrow{a}+\lambda (1-t)\overrightarrow{b}+\lambda t\overrightarrow{c}$$である。一方，$QS$ 側からは$$\overrightarrow{OM}=(1-\mu )(1-{\displaystyle \frac{t}{2}})\overrightarrow{a}+(1-\mu ){\displaystyle \frac{t}{2}}\overrightarrow{b}+\mu (1-{\displaystyle \frac{t}{2}})\overrightarrow{c}$$である。 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ は一次独立なので，係数を比較して$$\{\begin{array}{l}t(1-\lambda )=(1-\mu )(1-{\displaystyle \frac{t}{2}}),\\ \lambda (1-t)=(1-\mu ){\displaystyle \frac{t}{2}},\\ \lambda t=\mu (1-{\displaystyle \frac{t}{2}})\end{array}$$を得る。

この連立方程式を解く。第2式と第3式から $$1-\mu ={\displaystyle \frac{2\lambda (1-t)}{t}},\mu ={\displaystyle \frac{\lambda t}{1-{\displaystyle \frac{t}{2}}}}$$ である。これらを第1式に代入して整理すると $$t(1-\lambda )={\displaystyle \frac{2\lambda (1-t)}{t}}(1-{\displaystyle \frac{t}{2}})$$ である。さらに $(1-\mu )+\mu =1$ も用いて $\lambda$ を消去すると $3t-2=0$ となる。したがって $t={\displaystyle \frac{2}{3}}$ である。このとき第2式，第3式から $$\lambda ={\displaystyle \frac{1}{2}},\mu ={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ となり，どちらも $$0\leqq \lambda ,\mu \leqq 1$$ を満たすので，実際に線分上で交わる。

よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{OM}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{OP}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{OR}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\{{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{b}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{c}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{1}{6}}\overrightarrow{b}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{c}}\end{array}$$である。

係数空間で $P,Q,R,S$ の座標を置く。2直線 $PR,QS$ が交わるための共面条件を3次行列式で求めると、$t$ の候補が一意に決まる。最後にその時刻では両線分の中点が一致することを確認する。

(1)

$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ を基底とする係数で書けば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P}& {\displaystyle =(t,0,0),}\\ {\displaystyle Q}& {\displaystyle =(1-{\displaystyle \frac{t}{2}},{\displaystyle \frac{t}{2}},0),}\\ {\displaystyle R}& {\displaystyle =(0,1-t,t),}\\ {\displaystyle S}& {\displaystyle =(0,0,1-{\displaystyle \frac{t}{2}})\mathrm{.}}\end{array}$$したがって、これらがそれぞれ
$\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ},\overrightarrow{OR},\overrightarrow{OS}$
の係数表示である。

(2)

直線 $PR$ と $QS$ が交わるなら、方向ベクトル $R-P,S-Q$ と $Q-P$ は同一平面内にある。よって$$\det \left(\begin{array}{ccc}-t& -(1-{\displaystyle \frac{t}{2}})& 1-{\displaystyle \frac{3t}{2}}\\ 1-t& -{\displaystyle \frac{t}{2}}& {\displaystyle \frac{t}{2}}\\ t& 1-{\displaystyle \frac{t}{2}}& 0\end{array}\right)=0.$$左辺を整理すると$$-{\displaystyle \frac{1}{4}}(3t-2)(2t^2-3t+2)=0.$$ところが$$2t^2-3t+2=2{(t-{\displaystyle \frac{3}{4}})}^2+{\displaystyle \frac{7}{8}}>0$$なので、候補は $t={\displaystyle \frac{2}{3}}$ だけである。

このとき$${\displaystyle \frac{P+R}{2}}=({\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{6}},{\displaystyle \frac{1}{3}})={\displaystyle \frac{Q+S}{2}}\mathrm{.}$$したがって2線分は共通中点 $M$ で交わり、$$\overrightarrow{OM}={\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{1}{6}}\overrightarrow{b}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{c}$$である。