名古屋大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $f(x)=(x^2-x)e^{-x}$ である。微分すると $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(2x-1)e^{-x}-(x^2-x)e^{-x}=(-x^2+3x-1)e^{-x}$$ であり，さらに$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=\{(-2x+3)-(-x^2+3x-1)\}{e}^{-x}=(x^2-5x+4)e^{-x}=(x-1)(x-4)e^{-x}$$である。 $e^{-x}>0$ だから，$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0$ となるのは $x=1,4$ である。対応する $y$ 座標は $$f(1)=0,f(4)=12e^{-4}=\frac{12}{e^4}$$ なので，変曲点は ${\displaystyle (1,0),(4,\frac{12}{e^4})}$ である。

凹凸は $$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0(x<1,4<x),f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0(1<x<4)$$ である。また $f(x)=x(x-1)e^{-x}$ より零点は $x=0,1$ である。

増減については $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ が $x^2-3x+1=0$ と同値なので，$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3+\sqrt{5}}{2}$$ である。$f^{\mathrm{\prime }}(x)$ はこの2点の外側で負，内側で正となる。したがって，グラフは$$(-\mathrm{\infty },\frac{3-\sqrt{5}}{2})\text{で減少},(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{3+\sqrt{5}}{2})\text{で増加},(\frac{3+\sqrt{5}}{2},\mathrm{\infty })\text{で減少}$$する。さらに $$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=0,\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }$$ である。これらをもとに，$x=0,1$ で $x$ 軸と交わり，$(1,0)$ と $(4,12\mathrm{/}{e}^4)$ で凹凸が変わる概形を描けばよい。

(2) 接点を $x=t$ とする。接線の方程式は $y=f^{\mathrm{\prime }}(t)(x-t)+f(t)$ である。この接線が $(0,a)$ を通る条件は $a=f(t)-t{f}^{\mathrm{\prime }}(t)$ である。

ここで $$f(t)=(t^2-t)e^{-t},f^{\mathrm{\prime }}(t)=(-t^2+3t-1)e^{-t}$$ だから $$f(t)-t{f}^{\mathrm{\prime }}(t)=(t^2-t)e^{-t}-t(-t^2+3t-1)e^{-t}=t^2(t-2)e^{-t}$$ である。したがって $$a=h(t),h(t)=t^2(t-2)e^{-t}$$ を考えればよい。 $a>0$ であるから，$h(t)>0$ が必要であり，これは $t>2$ を意味する。$t>2$ での $h(t)$ の増減を調べると $$h^{\mathrm{\prime }}(t)=-t(t-1)(t-4)e^{-t}$$ である。したがって $t>2$ において，$h(t)$ は $(2,4)$ で増加し，$(4,\mathrm{\infty })$ で減少する。よって正の値の範囲で最大値をとるのは $t=4$ のときであり，その値は $$h(4)=4^2(4-2)e^{-4}=\frac{32}{e^4}$$ である。 $0<a<32\mathrm{/}{e}^4$ なら接点が2個，$a=32\mathrm{/}{e}^4$ なら接点が1個，$a>32\mathrm{/}{e}^4$ なら接点が存在しない。したがって，ちょうど1本の接線をもつのは $${\displaystyle a=\frac{32}{e^4}}$$ のときである。

このとき接点は $t=4$ である。接線は $y=f^{\mathrm{\prime }}(4)(x-4)+f(4)$ であり，$$f(4)=\frac{12}{e^4},f^{\mathrm{\prime }}(4)=(-16+12-1)e^{-4}=-\frac{5}{e^4}$$ だから $$y=-\frac{5}{e^4}(x-4)+\frac{12}{e^4}=\frac{32-5x}{e^4}$$ である。

求める領域は，$y$ 軸 $x=0$，曲線 $y=f(x)$，接線 $$y=\frac{32-5x}{e^4}$$ で囲まれる。接点は $x=4$ であり，$0\le x\le 4$ で接線が曲線の上にあるので，面積 $S$ は$$S={\int }_0^4\{\frac{32-5x}{e^4}-(x^2-x)e^{-x}\}dx$$である。

まず$$\int (x^2-x)e^{-x}dx=-(x^2+x+1)e^{-x}$$なので$${\int }_0^4(x^2-x)e^{-x}dx={[-(x^2+x+1)e^{-x}]}_0^4=1-\frac{21}{e^4}$$である。また$${\int }_0^4\frac{32-5x}{e^4}dx=\frac{1}{e^4}{[32x-\frac{5}{2}{x}^2]}_0^4=\frac{88}{e^4}$$である。したがって$$S=\frac{88}{e^4}-(1-\frac{21}{e^4})={\displaystyle \frac{109}{e^4}-1}$$である。

曲線とただ1本の接線

青い部分が求める面積。接線は $x=4$ で曲線に接する。