名古屋大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)

三角形の面積比だけが問題なので，座標を $A(0,0),B(1,0),C(0,1)$ とおく。このとき，$P$ は辺 $AC$ を $s:1-s$ に内分するから $P(0,s)$ であり，$Q$ は辺 $BC$ を $t:1-t$ に内分するから $Q(1-t,t)$ である。

点 $R$ は直線 $AQ$ 上にあるので，ある数 $\lambda$ を用いて $$R=\lambda Q=(\lambda (1-t),\lambda t)$$ と表せる。また $R$ は直線 $BP$ 上にもあるので，ある数 $\mu$ を用いて $$R=(1-\mu )B+\mu P=(1-\mu ,\mu s)$$ と表せる。したがって $$\lambda (1-t)=1-\mu ,\lambda t=\mu s$$ である。第2式から $\mu =\lambda t\mathrm{/}s$ として第1式に代入すると $$\lambda (1-t)=1-{\displaystyle \frac{\lambda t}{s}}$$ であり，$\lambda \{s(1-t)+t\}=s$ となる。よって $$\lambda ={\displaystyle \frac{s}{s+t-st}}$$ であり，$R({\displaystyle \frac{s(1-t)}{s+t-st}},{\displaystyle \frac{st}{s+t-st}})$ である。

次に面積を求める。$AP$ は $y$ 軸上の長さ $s$ の線分であるから，$R$ から直線 $AP$ までの距離は $R$ の $x$ 座標である。したがって$$[APR]={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot s\cdot {\displaystyle \frac{s(1-t)}{s+t-st}}={\displaystyle \frac{s^2(1-t)}{2(s+t-st)}}\mathrm{.}$$また $BQ$ の長さと高さを直接座標で計算してもよいが，三角形 $BQR$ について同じく行列式で面積を出すと $$[BQR]={\displaystyle \frac{t^2(1-s)}{2(s+t-st)}}$$ となる。例えば$$Q-B=(-t,t),R-B=({\displaystyle \frac{s(1-t)}{s+t-st}}-1,{\displaystyle \frac{st}{s+t-st}})$$を用いて，行列式の絶対値を取れば上式が得られる。

条件 $[APR]=2[BQR]$ より，分母は正なので $s^2(1-t)=2t^2(1-s)$ である。これを $s$ について整理すると $(1-t)s^2+2t^{2}s-2t^2=0$ である。解の公式より$$s={\displaystyle \frac{-2t^2\pm \sqrt{4t^4+8t^2(1-t)}}{2(1-t)}}={\displaystyle \frac{-t^2\pm t\sqrt{t^2-2t+2}}{1-t}}\mathrm{.}$$内分点なので $0<s<1$ であり，正の枝を選ぶ。したがって $$s={\displaystyle \frac{t\{\sqrt{t^2-2t+2}-t\}}{1-t}}$$ である。

(2)

(1) の式から $${\displaystyle \frac{s}{t}}={\displaystyle \frac{\sqrt{t^2-2t+2}-t}{1-t}}$$ である。したがって $$\underset{t\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{s}{t}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}-0}{1}}=\sqrt{2}$$ である。

2本の線分上の比から、青と橙の面積比を連鎖して求める。

頂点 $A,B,C$ に内分比と整合する重みを置き、交点 $R$ が分ける2本の線分の比を求める。共通の高さをもつ三角形の面積比を2段階で掛ければ、座標や交点の実座標を出さずに設問の面積条件が得られる。(2)はその条件式から直接極限を取る。

(1)
頂点 $A,B,C$ にそれぞれ$$1-s,{\displaystyle \frac{s(1-t)}{t}},s$$の重みを置く。すると$$AP:PC=s:(1-s),BQ:QC=t:(1-t)$$という2つの内分比に一致する。内分点の重みは両端の重みの和になるので、$P$ の重みは $1$、$Q$ の重みは $s\mathrm{/}t$ である。したがって交点 $R$ について$$BR:RP=t:s(1-t),AR:RQ=s:t(1-s)$$を得る。この重み付けは内分点公式を2本の線分へ順に適用したものである。

$\mathrm{△}APR$ と $\mathrm{△}ABR$ は、底辺を直線 $BP$ 上にとると高さが共通だから$${\displaystyle \frac{[APR]}{[ABR]}}={\displaystyle \frac{PR}{BR}}={\displaystyle \frac{s(1-t)}{t}}\mathrm{.}$$また $\mathrm{△}ABR$ と $\mathrm{△}BQR$ は、底辺を直線 $AQ$ 上にとると高さが共通だから$${\displaystyle \frac{[ABR]}{[BQR]}}={\displaystyle \frac{AR}{RQ}}={\displaystyle \frac{s}{t(1-s)}}\mathrm{.}$$よって$${\displaystyle \frac{[APR]}{[BQR]}}={\displaystyle \frac{s^2(1-t)}{t^2(1-s)}}\mathrm{.}$$これが $2$ に等しいので$$s^2(1-t)=2t^2(1-s)\mathrm{.}$$$s$ について解き、$0<s<1$ となる枝を選ぶと$$s={\displaystyle \frac{t\{\sqrt{t^2-2t+2}-t\}}{1-t}}$$である。

(2)
上の面積条件から$${\left({\displaystyle \frac{s}{t}}\right)}^2(1-t)=2(1-s)$$である。また $s^2(1-t)\leqq 2t^2$ より $t\to +0$ のとき $s\to 0$ である。したがって正の量であることに注意して極限を取ると$$\underset{t\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{s}{t}}=\sqrt{2}$$となる。