名古屋大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

点$A,B,C$の位置ベクトルをそれぞれ$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$とする。
$A^{\mathrm{\prime }},B^{\mathrm{\prime }},C^{\mathrm{\prime }}$は各辺を$2:1$に内分するから$$\overrightarrow{O{A}^{\mathrm{\prime }}}={\displaystyle \frac{\vec{a}+2\vec{b}}{3}},\overrightarrow{O{B}^{\mathrm{\prime }}}={\displaystyle \frac{\vec{b}+2\vec{c}}{3}},\overrightarrow{O{C}^{\mathrm{\prime }}}={\displaystyle \frac{\vec{c}+2\vec{a}}{3}}\mathrm{.}$$さらに$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{O{A}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\overrightarrow{O{A}^{\mathrm{\prime }}}+2\overrightarrow{O{B}^{\mathrm{\prime }}}}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\vec{a}+4\vec{b}+4\vec{c}}{9}}\mathrm{.}}\end{array}$$$\mathrm{△}ABC$の重心を$G$とすると$$\overrightarrow{OG}={\displaystyle \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}}\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{A{A}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}}}& {\displaystyle =\overrightarrow{O{A}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}}-\vec{a}={\displaystyle \frac{4}{9}}(-2\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}),}\\ {\displaystyle \overrightarrow{AG}}& {\displaystyle =\overrightarrow{OG}-\vec{a}={\displaystyle \frac{1}{3}}(-2\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})={\displaystyle \frac{3}{4}}\overrightarrow{A{A}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}}\mathrm{.}}\end{array}$$係数$3\mathrm{/}4$は正であるから，$G$は線分$A{A}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$上にある。

同様に添字を巡回させると$$\overrightarrow{BG}={\displaystyle \frac{3}{4}}\overrightarrow{B{B}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}},\overrightarrow{CG}={\displaystyle \frac{3}{4}}\overrightarrow{C{C}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}}$$を得る。よって$G$は$B{B}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$，$C{C}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$上にもある。

以上より，3直線$A{A}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$，$B{B}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$，$C{C}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$はすべて$\mathrm{△}ABC$の重心$G$で交わる。

二段階の内分点を結ぶ3直線は，同じ重心$G$を通る。

頂点$A$を原点とし，$\overrightarrow{AB}=\vec{u}$，$\overrightarrow{AC}=\vec{v}$を基底として必要な点だけを表す。$A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$が$(4\mathrm{/}9)(\vec{u}+\vec{v})$，重心$G$が$(1\mathrm{/}3)(\vec{u}+\vec{v})$となるので，$A,G,A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$の一直線性が一目で分かる。残りは始点を$B,C$へ移して同じ計算を繰り返す。

$A$を始点として$$\overrightarrow{AB}=\vec{u},\overrightarrow{AC}=\vec{v}$$とおく。内分の向きから$$\overrightarrow{A{A}^{\mathrm{\prime }}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\vec{u},\overrightarrow{A{B}^{\mathrm{\prime }}}=\vec{u}+{\displaystyle \frac{2}{3}}(\vec{v}-\vec{u})={\displaystyle \frac{1}{3}}\vec{u}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\vec{v}\mathrm{.}$$$A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$は$A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}$を$2:1$に内分するから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{A{A}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\overrightarrow{A{A}^{\mathrm{\prime }}}+2\overrightarrow{A{B}^{\mathrm{\prime }}}}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{3}}\{{\displaystyle \frac{2}{3}}\vec{u}+2({\displaystyle \frac{1}{3}}\vec{u}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\vec{v})\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4}{9}}(\vec{u}+\vec{v})\mathrm{.}}\end{array}$$一方，重心$G$について$$\overrightarrow{AG}={\displaystyle \frac{1}{3}}(\vec{u}+\vec{v})={\displaystyle \frac{3}{4}}\overrightarrow{A{A}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}}\mathrm{.}$$したがって$A,G,A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$は一直線上にあり，$G\in A{A}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$である。

同じ議論で始点を$B$，$C$に取り直せば$$\overrightarrow{BG}={\displaystyle \frac{3}{4}}\overrightarrow{B{B}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}},\overrightarrow{CG}={\displaystyle \frac{3}{4}}\overrightarrow{C{C}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}}$$となる。ゆえに$G\in B{B}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$かつ$G\in C{C}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$である。以上から，3直線は重心$G$で交わる。