名古屋大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)

3本の一次方程式の係数を比べると、$$3(1,1,-2)-2(2,-1,-1)+(1,-5,4)=(0,0,0)$$ が成り立つ。したがって、左辺にこの関係がある以上、解をもつためには右辺にも同じ関係が必要である。すなわち $3(3a)-2(3b)+3c=0$ でなければならない。よって条件は $3a-2b+c=0$ である。

この条件が成り立つとする。$z=t$ と置いて最初の2式 $$x+y-2t=3a,2x-y-t=3b$$ を解くと、$$x=a+b+t,y=2a-b+t$$ を得る。条件 $3a-2b+c=0$ のもとでは、これらは第3式も満たす。したがって解全体は $$(x,y,z)=(a+b+t,2a-b+t,t)(t\in \mathbb{R})$$ である。

(2)

(1) より、方程式(i)の解全体は $$(x,y,z)=(a+b,2a-b,0)+t(1,1,1)$$ と表される直線である。この直線が球面 $x^2+y^2+z^2=1$ とただ一つの共通解をもつなら、直線は球面に接している。球面の中心は原点であるから、接点 $(x,y,z)$ では、半径ベクトル $(x,y,z)$ が直線の方向ベクトル $(1,1,1)$ に垂直である。

したがって $x+y+z=0$ である。これより $z=-x-y$ であるから、球面の式に代入して $x^2+y^2+(-x-y{)}^2=1$ を得る。整理すると $2x^2+2xy+2y^2=1$ である。よって共通解はこの方程式を満たす。

(1) で解全体を直線として表示する。(2)ではその表示を球面の式へ代入し、$t$の二次方程式が重解をもつ条件を使う。重解の位置から共有点で$x+y+z=0$が導かれる。

(1)

3式の左辺には$$3(\text{第1式})-2(\text{第2式})+(\text{第3式})=0$$という関係がある。右辺にも同じ関係が必要十分なので$$3a-2b+c=0.$$この条件のもとで解全体は$$(x,y,z)=(a+b+t,2a-b+t,t)(t\in \mathbb{R})$$である。

(2)

$A=a+b,B=2a-b$とおく。球面条件へ代入すると$$(A+t{)}^2+(B+t{)}^2+t^2=1,$$すなわち$$3t^2+2(A+B)t+A^2+B^2-1=0.$$共通解がただ1つなら、この二次方程式は重解をもつ。その重解は$$t=-{\displaystyle \frac{A+B}{3}}\mathrm{.}$$したがって共有点では$$x+y+z=A+B+3t=0.$$$z=-x-y$を球面の式へ代入して$$x^2+y^2+(x+y{)}^2=1,$$すなわち$$2x^2+2xy+2y^2=1$$を得る。