名大 2010年度理系数学第4問｜問題・解答・解説

方針

(1) は整数点を無限に作ればよいので，分母 $3, 2$ を同時に消すように $x$ を選ぶ。(2) は，原点以外の2つの格子点を $(m, n), (r, s)$ とおき，2本の式から $a, b$ が有理数であることを示す。その後， $a, b$ の共通分母の倍数を $x$ に選べば，対応する $y$ が必ず整数になり，無限個の格子点が得られる。

解答

(1) 曲線 $y = \frac{1}{3} x^{2} + \frac{1}{2} x$ を考える。分母 $3$ と $2$ を同時に消すため， $x$ を $6$ の倍数にとる。 $x = 6 k$ とおくと， $y = \frac{1}{3} (6 k)^{2} + \frac{1}{2} (6 k) = 12 k^{2} + 3 k$ である。 $k$ が整数なら $12 k^{2} + 3 k$ も整数である。したがって $(6 k, 12 k^{2} + 3 k)$ はすべて格子点である。

整数 $k$ は無限に存在し，それに対応する $x = 6 k$ も互いに異なる。よって，この曲線上には無限に多くの格子点が存在する。

(2) 曲線 $y = a x^{2} + b x$ が，原点以外に2つの格子点を通るとする。それらを $(m, n), (r, s)$ とおく。ただし格子点なので $m, n, r, s$ は整数であり，原点以外の点であるから $m \neq 0, r \neq 0$ である。また関数のグラフ上の異なる2点なので， $m \neq r$ としてよい。

この2点が曲線上にあることから $n = a m^{2} + b m, s = a r^{2} + b r$ である。両式をそれぞれ $m, r$ で割ると $\frac{n}{m} = a m + b, \frac{s}{r} = a r + b$ となる。両式を引くと $\frac{n}{m} - \frac{s}{r} = a (m - r)$ である。 $m \neq r$ より $a = \frac{\frac{n}{m} - \frac{s}{r}}{m - r}$ となるから， $a$ は有理数である。さらに $b = \frac{n}{m} - a m$ なので， $b$ も有理数である。

したがって，ある正の整数 $N$ と整数 $A, B$ を用いて $a = \frac{A}{N}, b = \frac{B}{N}$ と表せる。ここで $x = N k$ とおくと， $y = a (N k)^{2} + b (N k) = \frac{A}{N} N^{2} k^{2} + \frac{B}{N} N k = A N k^{2} + B k$ である。 $k$ が整数なら $A N k^{2} + B k$ は整数である。

よって $(N k, A N k^{2} + B k)$ はすべて格子点であり，整数 $k$ を動かせば互いに異なる点が無限に得られる。したがって，曲線 $y = a x^{2} + b x$ 上には無限に多くの格子点が存在する。

総評

格子点の存在を示す問題では，分母を消すように $x$ を選ぶのが基本である。(2) の本質は，原点を通る2次式 $a x^{2} + b x$ が原点以外の2つの格子点を通れば，係数 $a, b$ が有理数に限られるという点にある。有理係数になれば，共通分母の倍数を $x$ に選ぶだけで $y$ も整数になり，無限個の格子点が構成できる。

2つの格子点が原点以外で互いに異なるため、 $m, r \neq 0$ かつ $m \neq r$ であり、割り算の分母は0にならない。有理係数を示すだけで終えず、共通分母の倍数 $x = N k$ を実際に代入して無限個を構成するところまで書く。

出典: 名古屋大学 2010年度前期数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

名古屋大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

方針

解答

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名古屋大学 2010年度前期日程第2次学力試験理系数学第4問