名古屋大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験 整数・場合の数文系数学 第3問(a)

(1) $3x+2y\leqq 8$ で $x,y$ は0以上の整数である。$x$ の取り得る値は $0,1,2$ である。 $x=0$ のとき $2y\leqq 8$ なので $y=0,1,2,3,4$ の5個。 $x=1$ のとき $2y\leqq 5$ なので $y=0,1,2$ の3個。 $x=2$ のとき $2y\leqq 2$ なので $y=0,1$ の2個。

したがって求める個数は $5+3+2=10$ である。

(2) $x$ を固定すると $$0\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{2008-3x}{2}}$$ であり，$x$ は $0\leqq x\leqq 669$ を満たす整数である。$x$ の偶奇で分ける。 $x=2j$ とおくと，$0\leqq j\leqq 334$ であり，$$0\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{2008-6j}{2}}=1004-3j$$ である。したがって $y$ の個数は $1005-3j$ である。 $x=2j+1$ とおくと，$0\leqq j\leqq 334$ であり，$$0\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{2005-6j}{2}}=1002+{\displaystyle \frac{1}{2}}-3j$$ である。$y$ は整数なので $0\leqq y\leqq 1002-3j$ となり，$y$ の個数は $1003-3j$ である。

よって求める個数は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle \sum _{j=0}^{334}(1005-3j)+\sum _{j=0}^{334}(1003-3j)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =335\cdot 1005-3\cdot {\displaystyle \frac{334\cdot 335}{2}}+335\cdot 1003-3\cdot {\displaystyle \frac{334\cdot 335}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =168840+168170}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =337010.}\end{array}$$

(1) の10個の格子点。大きな上限でも、$x$ を固定して縦に数える。