名古屋大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験 整数・方程式・不等式理系数学 第4問(b)（選択）

(1) $${\displaystyle \frac{2}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ の両辺に$4xy$を掛けると $8y+4x=xy$ である。これを移項して $xy-4x-8y=0$ とし，定数32を加えると $(x-8)(y-4)=32$ である。

元の式では$2\mathrm{/}x<1\mathrm{/}4$，$1\mathrm{/}y<1\mathrm{/}4$でなければならないので $x>8,y>4$ である。したがって$x-8$，$y-4$は32の正の約数である。$x-8=d$，$y-4=32\mathrm{/}d$とおくと $d=1,2,4,8,16,32$ を調べればよい。よって $$(x,y)=(9,36),(10,20),(12,12),(16,8),(24,6),(40,5)$$ である。

(2)

同様に $${\displaystyle \frac{2}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{1}{p}}$$ の両辺に$pxy$を掛けると $2py+px=xy$ である。すなわち $xy-px-2py=0$ であり，$2p^2$を加えて $(x-2p)(y-p)=2p^2$ を得る。

元の式より，正の項$2\mathrm{/}x$，$1\mathrm{/}y$はいずれも$1\mathrm{/}p$より小さい。したがって $x>2p,y>p$ である。そこで $d=x-2p,e=y-p$ とおくと，$d,e$は正の整数で $de=2p^2$ を満たす。また $$2x+3y=2(d+2p)+3(e+p)=2d+3e+7p$$ であるから，$2x+3y$を最小にするには$2d+3e$を最小にすればよい。 $p$は3以上の素数なので，$2p^2$の正の約数は $1,2,p,2p,p^2,2p^2$ である。それぞれ$d$に対応する$e=2p^2\mathrm{/}d$と$2d+3e$を比べると$$\begin{array}{ccc}d& e& 2d+3e\\ 1& 2p^2& 2+6p^2\\ 2& p^2& 4+3p^2\\ p& 2p& 8p\\ 2p& p& 7p\\ p^2& 2& 2p^2+6\\ 2p^2& 1& 4p^2+3\end{array}$$である。 $p\geqq 3$のとき，この中で最小は$7p$である。実際，$8p>7p$であり，$$4+3p^2-7p=3p^2-7p+4=(3p-4)(p-1)>0,$$ $$2p^2+6-7p=2p^2-7p+6=(2p-3)(p-2)>0$$ である。さらに$$2+6p^2-7p=(3p-2)(2p-1)>0,$$$$4p^2+3-7p=(4p-3)(p-1)>0$$である。したがって $d=2p,e=p$ のとき最小となる。よって $$x=d+2p=4p,y=e+p=2p$$ であり，求める組は $(x,y)=(4p,2p)$ である。