名大 2010年度理系数学第3問｜問題・解答・解説

方針

赤球の位置を3状態の確率として追跡し，1回の操作による遷移から漸化式を立てる。明示式を求めるには，和 $a_{n} + b_{n} + c_{n} = 1$ ，差 $a_{n} - c_{n}$ ，および $b_{n}$ の1次漸化式に分解するとよい。最後に $a_{n}$ と $c_{n}$ は，和と差から復元する。

解答

(1) 最初，赤球は箱 $A$ に入っている。

1回目の操作では，表なら $A$ と $B$ を入れ替えるので赤球は $B$ に移り，裏なら $B$ と $C$ を入れ替えるので赤球は $A$ に残る。したがって $a_{1} = \frac{1}{2}, b_{1} = \frac{1}{2}, c_{1} = 0$ である。

2回目は，1回目後の位置からもう一度場合分けすればよい。赤球が $A$ にある確率は $1 / 2$ ， $B$ にある確率は $1 / 2$ である。赤球が $A$ にあるとき，次に表が出ると $B$ へ移り，裏が出ると $A$ に残る。赤球が $B$ にあるとき，次に表が出ると $A$ へ移り，裏が出ると $C$ へ移る。よって $a_{2} = \frac{1}{2}, b_{2} = \frac{1}{4}, c_{2} = \frac{1}{4}$ である。

(2) $n$ 回目の操作後の確率を $a_{n}, b_{n}, c_{n}$ とする。

次の操作後に赤球が $A$ にあるのは，直前に $A$ にあって裏が出る場合，または直前に $B$ にあって表が出る場合である。よって $a_{n + 1} = \frac{a_{n} + b_{n}}{2} .$ 同様に，次の操作後に赤球が $B$ にあるのは，直前に $A$ にあって表が出る場合，または直前に $C$ にあって裏が出る場合であるから $b_{n + 1} = \frac{a_{n} + c_{n}}{2} .$ また，次の操作後に赤球が $C$ にあるのは，直前に $B$ にあって裏が出る場合，または直前に $C$ にあって表が出る場合であるから $c_{n + 1} = \frac{b_{n} + c_{n}}{2} .$ したがって $\begin{aligned} a_{n + 1} & = \frac{a_{n} + b_{n}}{2}, \\ b_{n + 1} & = \frac{a_{n} + c_{n}}{2}, \\ c_{n + 1} & = \frac{b_{n} + c_{n}}{2} \end{aligned}$ である。

(3) まず常に $a_{n} + b_{n} + c_{n} = 1$ である。第1式と第3式を引くと $a_{n + 1} - c_{n + 1} = \frac{a_{n} + b_{n}}{2} - \frac{b_{n} + c_{n}}{2} = \frac{a_{n} - c_{n}}{2}$ である。 $a_{1} - c_{1} = 1 / 2$ だから $a_{n} - c_{n} = \frac{1}{2^{n}}$ を得る。

また $b_{n + 1} = \frac{a_{n} + c_{n}}{2} = \frac{1 - b_{n}}{2}$ である。これを $b_{n + 1} - \frac{1}{3} = - \frac{1}{2} (b_{n} - \frac{1}{3})$ と書く。 $b_{1} = 1 / 2$ だから $b_{1} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ であり， $b_{n} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} {(- \frac{1}{2})}^{n - 1} = - \frac{1}{3} {(- \frac{1}{2})}^{n}$ となる。よって $b_{n} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} {(- \frac{1}{2})}^{n}$ である。

残る $a_{n}, c_{n}$ を求める。 $a_{n} + c_{n} = 1 - b_{n}$ より $a_{n} + c_{n} = 1 - {\frac{1}{3} - \frac{1}{3} {(- \frac{1}{2})}^{n}} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} {(- \frac{1}{2})}^{n}$ である。一方で $a_{n} - c_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n}$ である。

したがって，和と差から $a_{n} = \frac{1}{2} {\frac{2}{3} + \frac{1}{3} {(- \frac{1}{2})}^{n} + {(\frac{1}{2})}^{n}}$ すなわち $a_{n} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} {(- \frac{1}{2})}^{n} + \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{n}$ である。また $c_{n} = \frac{1}{2} {\frac{2}{3} + \frac{1}{3} {(- \frac{1}{2})}^{n} - {(\frac{1}{2})}^{n}}$ より $c_{n} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} {(- \frac{1}{2})}^{n} - \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{n}$ である。

以上より $\begin{aligned} a_{n} & = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} {(- \frac{1}{2})}^{n} + \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{n}, \\ b_{n} & = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} {(- \frac{1}{2})}^{n}, \\ c_{n} & = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} {(- \frac{1}{2})}^{n} - \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{n} \end{aligned}$ である。

赤球の位置の状態遷移

頂点は赤球の現在位置を表す。

別解

方針

赤球の位置確率を3成分の列ベクトルにまとめる。遷移行列には、全成分が等しい方向、 $A$ と $C$ の差を表す方向、中央と両端の差を表す方向の3つの固有方向がある。初期状態をその3方向へ分解して一般項を一度に得る。

解答

(1)
初期状態を $v_{0} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})$ とする。1回、2回の遷移を直接行うと $v_{1} = (\begin{array}{c} 1 / 2 \\ 1 / 2 \\ 0 \end{array}), v_{2} = (\begin{array}{c} 1 / 2 \\ 1 / 4 \\ 1 / 4 \end{array}) .$ したがって $a_{1} = b_{1} = \frac{1}{2}, c_{1} = 0, a_{2} = \frac{1}{2}, b_{2} = c_{2} = \frac{1}{4} .$ (2) $v_{n} = (a_{n}, b_{n}, c_{n})^{T}$ とおく。状態遷移図から $v_{n + 1} = T v_{n}, T = \frac{1}{2} (\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}) .$ 成分ごとに書けば $\begin{aligned} a_{n + 1} & = \frac{a_{n} + b_{n}}{2}, \\ b_{n + 1} & = \frac{a_{n} + c_{n}}{2}, \\ c_{n + 1} & = \frac{b_{n} + c_{n}}{2} . \end{aligned}$ (3)　
3つのベクトル $e_{0} = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}), e_{1} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}), e_{2} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 1 \end{array})$ に対して $T e_{0} = e_{0}, T e_{1} = \frac{1}{2} e_{1}, T e_{2} = - \frac{1}{2} e_{2}$ である。また $v_{0} = \frac{1}{3} e_{0} + \frac{1}{2} e_{1} + \frac{1}{6} e_{2} .$ したがって $v_{n} = T^{n} v_{0} = \frac{1}{3} e_{0} + \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{n} e_{1} + \frac{1}{6} {(- \frac{1}{2})}^{n} e_{2} .$ 各成分を読めば $\begin{aligned} a_{n} & = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} {(- \frac{1}{2})}^{n} + \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{n}, \\ b_{n} & = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} {(- \frac{1}{2})}^{n}, \\ c_{n} & = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} {(- \frac{1}{2})}^{n} - \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{n} . \end{aligned}$

総評

3状態の確率漸化式をそのまま連立で解こうとすると重く見えるが，保存量 $a_{n} + b_{n} + c_{n} = 1$ と差 $a_{n} - c_{n}$ に注目すると一気に1次漸化式へ分解できる。 $b_{n}$ が決まれば， $a_{n} + c_{n}$ と $a_{n} - c_{n}$ の和差算で $a_{n}, c_{n}$ が復元できる。文系第3問と同じ設定だが，こちらは3つの確率の明示式まで求める点が違いである。

保存量と差の漸化式による方法は高校答案として短く、遷移行列の固有方向による方法は3項の形が現れる理由を一度に説明する。どちらの明示式も $n = 1, 2$ を代入し、確率の和が1になることを確認するとよい。

出典: 名古屋大学 2010年度前期数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

名古屋大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

方針

解答

別解

方針

解答

総評

名古屋大学 2010年度前期日程第2次学力試験理系数学第3問