名古屋大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
二項定理より $$(x-1{)}^{101}=\sum _{k=0}^{101}{}_{101}{\mathrm{C}}_k{x}^k(-1{)}^{101-k}$$ である。$x^2$ の係数は $k=2$ の項から $${}_{101}{\mathrm{C}}_2(-1{)}^{99}=-\frac{101\cdot 100}{2}=-5050$$ である。したがって $-5050$ である。

(2) $p-1\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ であり、$m$ は奇数である。よって $$(p-1{)}^m+1\equiv (-1{)}^m+1=-1+1=0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$ である。したがって $(p-1{)}^m+1$ は $p$ で割り切れる。

(3)
二項定理より $(p-1{)}^m+1=(-1+p{)}^m+1$ である。展開すると、定数項は $(-1{)}^m=-1$ であり、最後の $+1$ と打ち消し合う。一次項は $${}_m{\mathrm{C}}_1(-1{)}^{m-1}p=mp$$ である。二次以上の項はすべて $p^2$ で割り切れるので、ある整数 $M$ を用いて $$(p-1{)}^m+1=mp+p^{2}M=p(m+pM)$$ と書ける。

仮定より $m$ は $p$ で割り切れない。したがって $m+pM$ も $p$ で割り切れない。よって $p(m+pM)$ は $p$ では割り切れるが、$p^2$ では割り切れない。すなわち $(p-1{)}^m+1\text{ は }{p}^2\text{ で割り切れない}$ である。

(4) $r$ に関する数学的帰納法で示す。 $r=1$ のときは $s=m$ であり、(2)で $p=3$ とすれば $2^m+1=(3-1{)}^m+1$ は3で割り切れる。よって成り立つ。

次に、ある $r$ について $2^{3^{r-1}m}+1$ が $3^r$ で割り切れると仮定する。 $X=2^{3^{r-1}m}$ とおくと $X+1\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{3}^r)$ であり、特に $X\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ である。

次の段階では $$2^{3^{r}m}+1=X^3+1=(X+1)(X^2-X+1)$$ である。第1因数 $X+1$ は $3^r$ で割り切れる。また $$X^2-X+1\equiv (-1{)}^2-(-1)+1=3\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$$ であるから、第2因数は3で割り切れる。したがって $X^3+1$ は $3^{r+1}$ で割り切れる。

以上より、数学的帰納法により $$2^s+1=2^{3^{r-1}m}+1\text{ は }{3}^r\text{ で割り切れる}$$ が成り立つ。